Pour des problèmes de géométrie arithmétique sur un corps de fonctions $k(C)$, où $C$ est une variété algébrique projective sur un corps $k$, il est courant et fructueux de considérer un objet défini sur $k(C)$ (variété, faisceau, morphisme…) comme un germe d’objet sur $C$ puis de le prolonger sur $C$ tout entier. La conjecture de Mordell sur les corps de fonctions devient alors un énoncé sur les sections d’une surface projective fibrée en courbes de genre au moins $2$ au-dessus d’une courbe projective. On peut alors utiliser tout l’attirail de la géométrie algébrique sur cette surface, notamment la théorie de l’intersection.

Sur les corps de nombres, la théorie des schémas de Grothendieck donne un corps à ce principe. Cependant, le spectre $\operatorname{Spec}(\mathbf{Z})$ de $\mathbf{Z}$ est un schéma affine de dimension $1$, donc l’analogue d’une courbe algébrique affine, et n’a pas de compactification naturelle. Une telle compactification ne serait vraisemblablement pas définissable uniquement par l’algèbre. La nullité du degré du diviseur d’une fonction sur une courbe projective a pour analogue la formule du produit. Dans cette analogie, c’est ainsi aux points fermés d’une courbe affine que correspondent les idéaux maximaux de $\mathbf{Z}$, et le rôle des points à l’infini sera joué par la valeur absolue usuelle, archimédienne, de $\mathbf{Z}$, un objet de nature plus analytique, ou en tout cas topologique.

La théorie d’Arakelov ([2, 34, 38]) vise à pallier cette asymétrie en proposant une théorie de l’intersection arithmétique sur les schémas réguliers, de type fini sur $\mathbf{Z}$. Dans cette théorie, les objets algébriques (cycles, fibrés vectoriels,…) sont munis de structures supplémentaires définies par la géométrie analytique complexe (courants de Green, métriques hermitiennes,…). Cette théorie a donné lieu à de très beaux développements (par exemple, un théorème de Riemann-Roch arithmétique) et à des applications importante en géométrie diophantienne classique (hauteur de cycles [35, 18], théorèmes d’équidistribution de points de petite hauteur [51], preuve de la conjecture de Bogomolov [55, 60]).

Dans ce travail, nous avons souhaité remettre toutes les places sur le même plan, non pas en inventant une structure algébrique aux places archimédiennes, mais en tâchant de définir une structure analytique aux places ultramétriques. Ce n’est certes pas une idée originale.

La théorie d’Arakelov non archimédienne [11] est une première élaboration. Étant donnée une variété algébrique $X$ sur le corps des fractions $K$ d’un anneau de valuation discrète $R$, ces auteurs travaillent non pas avec un modèle fixé $\mathscr{X}/R$, mais avec le système projectif de tous les modèles. Pour des raisons techniques, ils doivent se restreindre aux modèles réguliers dont la fibre spéciale est un diviseur à croisements normaux stricts. Lorsque la caractéristique résiduelle de $R$ est strictement positive, cela les oblige à admettre l’existence d’une résolution des singularités plongée. Indépendamment de cette restriction (le cas où $R=\mathbf{C}((t))$ est déjà très intéressant), leur théorie reste de nature très algébrique : formes, courants sont définis comme des systèmes compatibles de cycles sur les différents modèles (pour des applications convenables fournies par la théorie de l’intersection).

Dans le cas des courbes, la thèse [54] d’A. Thuillier fournit une théorie d’Arakelov analytique à toutes les places fondée sur les espaces de Berkovich aux places ultramétriques et sur l’analyse complexe aux places archimédiennes. Dans le cas d’une courbe sur un corps ultramétrique, il y développe aussi une théorie du potentiel formellement analogue à celle qui vaut sur les surfaces de Riemann. Le cas de la droite projective a été développé indépendamment par [4, 3]. Ces considérations recoupent aussi les travaux de [50, 36, 37] en dynamique non archimédienne.

En dimension arbitraire, la théorie des mesures sur les espaces de Berkovich (due au premier auteur [22] et raffinée par [39]) fournit une troisième incarnation de cette idée. Si $X$ est propre, de dimension $n$, et si $\bar{L}$ est un fibré en droites sur $X$ muni d’une métrique admissible au sens de [59], on construit une mesure sur l’espace analytique $X^{\mathrm{an}}$ associé à $X/K$ par Berkovich que nous notons $c_{1}(\bar{L})^{n}$. En effet, cette mesure est un analogue de la mesure de même nom lorsque $\bar{L}$ est un fibré en droites hermitien sur une variété analytique compacte de dimension $n$. Sa masse totale est égale au degré $\deg(c_{1}(L)^{n}|X)$ de $X$ pour $L$. Elle donne aussi lieu à des théorèmes d’équidistribution des points de petite hauteur tout à fait analogues à ceux évoqués plus haut dans le cas archimédien ([22, 4, 36, 40, 58]). Voir aussi [23] pour un survol de la théorie qui met en parallèle les cas archimédien et ultramétrique. Dans [40], Gubler montre comment les idées de [55, 60] se transposent et permettent de prouver la conjecture de Bogomolov sur les corps de fonctions lorsque la variété abélienne sous-jacente est « totalement dégénérée ».

Divers mathématiciens se sont aussi intéressé à l’analogue du théorème de Yau (conjecture de Calabi) dans ce contexte. Citons un travail non publié de Kontsevich et Tschinkel (2000). Plus récemment, l’unicité d’une métrique conduisant à une mesure prescrite (théorème de Calabi) est prouvée dans [57] en adaptant la preuve de [12]. L’article [45] construit quelques solutions dans le cas de variétés abéliennes totalement dégénérées. Les articles [19, 20] prouvent l’existence de solutions dans de nombreux cas algébriques.

Dans le cas d’un fibré en droites hermitien $\bar{L}$ sur une variété complexe $X$ $c_{1}(\bar{L})$ est une forme différentielle de type $(1,1)$ et sa puissance $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est une forme de type $(n,n)$, laquelle donne lieu à une mesure si $X$ est de dimension $n$. La théorie des mesures de [22] avait ceci d’insatisfaisant qu’elle définissait une mesure $c_{1}(\bar{L})^{n}$ tout en s’avérant incapable de donner un sens à l’objet $c_{1}(\bar{L})$, lorsque $\bar{L}$ est un fibré métrisé sur une variété algébrique propre de dimension $n$ sur un corps valué complet.

Combler cette frustration est la raison d’être du présent travail.

Au passage, nous étendons la théorie en traitant des variétés analytiques ni nécessairement algébriques, ni nécessairement compactes. Le caractère local des mesures $c_{1}(\bar{L})^{n}$ (établi dans [23]) apparaîtra ainsi bien plus naturellement.

Soit donc $k$ un corps valué complet, non archimédien. Soit $X$ un espace $k$-analytique au sens de Berkovich [7, 8].

Nous appelons fonction lisse sur $X$ une fonction sur $X$ à valeurs réelles qui s’écrit localement $\varphi(\log\mathopen{|}{f_{1}}\mathclose{|},\dots,\log\mathopen{|}{f_{r}}\mathclose{|})$, où $f_{1},\dots,f_{r}\in\mathscr{O}_{X}^{\times}$ sont des fonctions holomorphes inversibles sur $X$ et $\varphi$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $\mathbf{R}^{r}$ à valeurs réelles. Les fonctions lisses forment un sous-faisceau $\mathscr{A}_{X}$ du faisceau des fonctions continues sur $X$ à valeurs réelles. Si $X$ est bon et paracompact, par exemple si $X$ est l’analytifié d’une variété algébrique, ce faisceau est fin.

Plus généralement, si $p$ et $q$ sont deux entiers naturels, nous définissons une notion de forme différentielle lisse de type $(p,q)$ sur $X$, qui redonne la notion de fonction lisse pour $(p,q)=(0,0)$. Ce sont naturellement les sections de faisceaux $\mathscr{A}_{X}^{p,q}$ qui sont nuls si $p>\dim(X)$ ou $q>\dim(X)$. La somme directe de ces faisceaux est une algèbre bigraduée commutative ; elle est munie d’opérateurs différentiels $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ de degrés $(1,0)$ et $(0,1)$ et de carrés nuls.

Si $\dim(X)=n$, on peut intégrer les formes de type $(n,n)$, pourvu bien entendu qu’elles soient intégrables, ce qui est par exemple le cas si leur support est compact. Si $X$ est l’analytifié d’une variété propre, l’intégrale d’une forme sur $X$ de la forme $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ est nulle.

Plus généralement, Berkovich a introduit la notion de bord $\partial(X)$ de l’espace analytique $X$ et nous définissons aussi l’intégrale d’une forme de type $(n-1,n)$ sur ce bord. Ces définitions donnent lieu à l’analogue de la formule de Stokes :

si $\omega$ est une forme à support compact de type $(n-1,n)$ sur $X$.

Nous introduisons alors la notion de courant. Comme chez Schwartz et De Rham, ceux-ci sont définis comme les formes linéaires sur l’espace des formes différentielles lisses à support compact (et, techniquement, qui évitent le bord) qui vérifient une condition de continuité convenable. Par l’intégration des formes différentielles de type $(n,n)$ et le produit extérieur, les formes s’identifient à des courants. L’intégration sur $X$, sur un sous-espace de $X$, une mesure sur $\operatorname{Int}(X)$, donnent aussi lieu à des courants.

Si $f$ est une fonction méromorphe régulière sur $X$ (c’est-à-dire définie sur un ouvert de Zariski dense), la fonction $\log\mathopen{|}{f}\mathclose{|}$ définit un courant. Notons $\operatorname{div}(f)$ le diviseur de $f$ (un cycle de codimension $1$ sur $X$) et $\delta_{\operatorname{div}(f)}$ le courant sur $X$ qui se déduit par linéarité des divers courants d’intégration sur les composantes de $\operatorname{div}(f)$. Nous prouvons alors l’analogue de la formule de Poincaré-Lelong.

Étant donné un fibré en droites $L$ sur $X$, on définit alors naturellement la notion de métrique lisse sur $L$. Grâce à la formule de Poincaré-Lelong, un tel fibré métrisé $\bar{L}$ possède une forme de courbure $c_{1}(\bar{L})$, définie de façon analogue à la forme de courbure d’un fibré en droites hermitien sur une variété complexe.

Si $X$ est l’analytifié d’une variété algébrique propre de dimension $n$, on démontre alors à l’aide de la formule de Stokes que l’intégrale sur $X$ de la $(n,n)$-forme lisse $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est égal au degré d’intersection $\deg(c_{1}(L)^{n}\cap[X])$.

D’autre part, un modèle formel $(\mathfrak{X},\mathfrak{L})$ de $(X,L)$ sur $k^{\circ}$ fournit naturellement une métrique continue (qualifiée de formelle) sur $L$. Pour une telle métrique, la norme d’une section locale de $L$ est égale au maximum d’une famille finie de valeurs absolues de certaines fonctions holomorphes inversibles. Ainsi, et contrairement à l’intuition véhiculée par les articles précédents, une métrique formelle n’est pas lisse en général.

Cela fournit un point de contact entre la théorie du présent article et le mémoire [46] sur la théorie d’Arakelov des variétés toriques. Ce dernier travail étudie en détail les métriques hermitiennes naturelles sur les fibrés en droites hermitiens sur une variété torique complexe — définies précisément par des maximum de valeurs absolues de fonctions holomorphes. Un tel fibré en droite hermitien possède une courbure, laquelle n’est plus une forme différentielle mais un courant. Un outil crucial de [46] est fourni par la théorie de [5, 25] qui permet de les multiplier. (Rappelons que les courants ne sont en général pas plus multipliables que ne le sont les distributions.) Le fait essentiel est que la fonction $\max(x_{1},\dots,x_{r})$ sur $\mathbf{R}^{r}$ est limite uniforme de fonctions convexes lisses.

Nous définissons ainsi des notions de formes et courants positifs. Cela nous amène à développer les rudiments de la théorie des fonctions plurisousharmoniques — une fonction lisse $u$ est dite plurisousharmonique si $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u$ est un courant positif. En fait, les seules fonctions plurisousharmoniques que nous considérerons dans cet article sont des limites uniformes de fonctions lisses plurisousharmoniques. En copiant les arguments de [5, 25], nous pouvons définir des produits de courants $T\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u_{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u_{r}$, où $T$ est un courant positif et $u_{1},\dots,u_{r}$ des fonctions plurisousharmoniques comme ci-dessus.

Grâce à cette théorie, on peut multiplier les courants de courbure des fibrés en droites munis de métriques formelles. Nous prouvons alors que la théorie développée ici redonne les mesures définies dans [22]. La théorie construite dans ce dernier article partait du cas des métriques formelles, alors considérées comme métriques « lisses ». La théorie de l’intersection sur la fibre spéciale du modèle formel fournissait des mesures atomiques sur $X$  ; un argument d’approximation permettait de construire des mesures pour des fibrés en droites munis de métriques plus générales. Dans le présent article, le point de vue est renversé : les métriques formelles ne sont pas lisses, mais limites uniformes de métriques lisses convenables, et les mesures associées ne sont définies que via un passage à la limite.

La construction des faisceaux de formes différentielles repose sur un travail récent d’A. Lagerberg [43] dont le but est d’adapter les outils classiques de la théorie du pluripotentiel sur les variétés complexes à l’analyse convexe sur des espaces vectoriels réels.

Pour tout ouvert $U$ de l’espace vectoriel $\mathbf{R}^{n}$, Lagerberg construit une algèbre bigraduée commutative $\mathscr{A}^{*,*}(U)$ en dédoublant le complexe de De Rham de $\mathbf{R}^{n}$ : pour tous $(p,q)\in\mathbf{N}^{2}$,

En particulier, $\mathscr{A}^{0,0}(U)$ est l’algèbre des fonctions $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $U$. Pour $i\in\{1,\dots,n\}$, on note $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i}$ la $i$-ieme forme coordonnée vue respectivement dans $\mathscr{A}^{1,0}$ et $\mathscr{A}^{0,1}$. Cette algèbre possède deux dérivations, notées $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$, analogues des dérivations holomorphes et antiholomorphes. Elles sont caractérisées par la formule

si $f$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $U$. Cette algèbre possède aussi une involution qui échange $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$.

L’opérateur $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}f)^{n}$ est l’analogue de l’opérateur de Monge-Ampère complexe ; il s’exprime d’ailleurs en termes de l’opérateur de Monge-Ampère réel : on a en effet

Les éléments de $\mathscr{A}^{p,q}(U)$ sont appelées superformes de type $(p,q)$ sur $U$ ; le préfixe super est ajouté par référence à la superanalyse de Berezin ; comme nous n’utiliserons pas cette dernière, nous nous permettrons souvent d’omettre ce préfixe.

Une $(n,n)$-forme $\omega$ sur un ouvert $U$ de $\mathbf{R}^{n}$ s’écrit

où $\omega^{\sharp}$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$. Son intégrale est alors définie par la formule

Cela donne automatiquement naissance à une théorie des courants. Il y a aussi une notion de forme positive, de courant positif ; les fonctions convexes sont caractérisées par la positivité de leur image par l’opérateur $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}$, etc.

Le lien entre espaces de Berkovich et espaces réels est fourni par la « géométrie tropicale ».

Le point de vue tropical en géométrie analytique sur un corps valué $k$ (ultramétrique ou non) consiste à approcher un espace analytique $X$ par ses tropicalisations, ou amibes, images de $X$ dans $\mathbf{R}^{n}$ par des applications de la forme $x\mapsto(\log\mathopen{|}{f_{1}(x)}\mathclose{|},\dots,\log\mathopen{|}{f_{n}(x)}\mathclose{|})$, où $f_{1},\dots,f_{n}$ sont des fonctions analytiques inversibles sur $X$. Introduit initialement dans le cas où $k$ est le corps des nombres complexes et $X$ est une variété algébrique (voir [6, 56, 47]), ce point de vue a ensuite été développé dans le cas ultramétrique (citons notamment [10, 33, 39]).

Il est fondamental que les amibes sont alors des sous-espaces linéaires par morceaux de $\mathbf{R}^{n}$, connexes si $X$ est connexe. Ce fait, initialement démontré dans [10], a ensuite reprouvé par [39] à l’aide d’un argument de Berkovich issu de son analyse locale [9] des espaces analytiques (qui repose sur l’existence d’altérations [42]), puis dans [32] comme conséquence de l’élimination des quantificateurs pour les corps valués algébriquement clos. Voir aussi l’article [48] pour une autre incarnation du lien intime entre géométrie analytique et géométrie tropicale.

Plaçons nous pour commencer en géométrie analytique complexe. Soit $X$ une variété analytique complexe, $f_{1},\dots,f_{n}$ des fonctions holomorphes inversibles sur $X$ et $f=(f_{1},\dots,f_{n})\colon X\rightarrow(\mathbf{C}^{*})^{n}$ l’application qui s’en déduit. Notons $f_{\text{trop}}\colon X\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ la composition de $f$ et de l’application $(\mathbf{C}^{*})^{n}\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ donnée par $(z_{1},\dots,z_{n})\mapsto(\log\mathopen{|}{u_{1}}\mathclose{|},\dots,\log\mathopen{|}{u_{n}}\mathclose{|})$.

Par les formules

une superforme $\omega$ de type $(p,q)$ sur $\mathbf{R}^{n}$ donne lieu à une forme différentielle réelle $f^{*}\omega$ de degré $p+q$ sur $X$. On prendra garde que $f^{*}\omega$ n’est pas forcément de type $(p,q)$ : cela se voit déjà sur $f^{*}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}$ qui contient une composante holomorphe et une composante antiholomorphe. En revanche, si $\omega$ est de type $(p,p)$ et symétrique, $f^{*}\omega$ est de type $(p,p)$.

Revenons maintenant au cas des espaces analytiques sur un corps ultramétrique $k$. Soit $X$ un tel espace. La définition d’une forme lisse de type $(p,q)$ est définie en considérant des tropicalisations locales $f\colon X\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{r}$ et des superformes sur l’image $f_{\text{trop}}(X)$ dans $\mathbf{R}^{r}$, une fois adaptée la définition de Lagerberg au cas des espaces linéaires par morceaux.

En revanche, si $X$ est de dimension $n$, on voudrait définir l’intégrale d’une forme de type $(n,n)$ de la forme $f^{*}\omega$ comme la somme des intégrales à la Lagerberg sur les sous-espaces de dimension $n$ de $f_{\text{trop}}(X)$. Cela pose deux problèmes supplémentaires :

• —

  L’intégrale définie par Lagerberg dépend du système de coordonnées canonique sur $\mathbf{R}^{n}$ et ses sous-espaces linéaires n’en disposent pas a priori ;

• —

  Si l’on pense à la formule de projection en théorie de l’intersection, ou à la formule du changement de variables dans les intégrales multiples, l’intégrale de $f^{*}\omega$ ne peut être égale à $\int\omega$ qu’à un facteur correctif près, espèce de degré de $f$.

Nous les résolvons simultanément en introduisant la notion de calibrage $\mu$ d’un sous-espace linéaire par morceaux de dimension $n$ de $\mathbf{R}^{r}$. À des questions d’orientation près, il s’agit essentiellement d’une famille de $n$-vecteurs définis face par face. En contractant la superforme $\omega$ de type $(n,n)$ par ces $n$-vecteurs, on la transforme en une $n$-forme différentielle $\langle\omega,\mu\rangle$ sur l’espace linéaire par morceaux, forme qu’on intègre de façon usuelle. La théorie de Lagerberg correspond au choix du $n$-vecteur $\frac{\partial}{\partial x_{1}}\wedge\dots\frac{\partial}{\partial x_{n}}$ sur $\mathbf{R}^{n}$.

Si $X$ est compact, nous définissons alors un calibrage canonique $\mu_{f}$ de $f_{\text{trop}}(X)$. Négligeant ici des problèmes de bord, le fait que, lorsque $r=n$, $f$ soit fini et plat au-dessus du squelette de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$, et le degré de $f$ en ces points, intervient crucialement dans cette construction.

Signalons qu’il aurait peut-être été possible d’éviter d’introduire cette notion de calibrage en utilisant des structures $\mathbf{Z}$-linéaires sur les espaces linéaires par morceaux considérés mais nous n’avons pas développé cette approche.

Une variante de ces constructions conduit à l’intégrale sur le bord de $X$ d’une forme de type $(n-1,n)$ et la formule de Stokes se déduit de celle en géométrie différentielle. Si la définition de l’intégrale de bord considère les bords des tropicalisations, un avatar de la condition d’équilibre en géométrie tropicale permet de prouver que la terminologie est justifiée, au sens où l’intégrale sur le bord de $X$ d’une forme nulle au voisinage du bord est nulle.

Nous nous sommes efforcés de rédiger le texte dans la généralité maximale compatible avec nos compétences techniques. Ainsi, on ne se limite pas aux espaces analytiques algébriques, on ne les suppose pas lisses, ni même réduits. En fait, notre théorie est très « générique » ; par exemple, les supports des formes lisses de degré maximal ne rencontrent aucun fermé de Zariski d’intérieur vide, en particulier aucun point rigide (en dimension $>0$). Ainsi, des hypothèses de lissité, etc. n’interviendraient jamais de façon cruciale au cours des preuves.

La théorie est valable en toute caractéristique. Elle n’utilise à aucun moment la résolution des singularités (Hironaka, Temkin) ou même l’existence d’altérations (De Jong), notamment grâce à l’article [32] du second auteur qui prouve, via l’élimination des quantificateurs, le caractère linéaire par morceaux des tropicalisations. Il est aussi valable en valuation triviale.

Nous utilisons cependant des arguments de réduction, proches de ceux permis par la géométrie formelle, mais de nature plus locale et techniquement plus aisés, fournis par la théorie de Temkin [52, 53].

Bien que la rédaction du présent texte soit assez complète, nous le compléterons dans les prochains mois en rajoutant détails et exemples, parmi lesquels :

• —

  le calcul du courant $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log\max(1,\mathopen{|}{f}\mathclose{|})$, l’analogue de la formule de Levine  ;

• —

  le calcul des mesures canoniques sur les variétés abéliennes, à partir de leur uniformisation  ;

• —

  lorsque $\bar{L}$ est un fibré en droites muni d’une métrique formelle, le calcul des puissances $c_{1}(\bar{L})^{i}$ et leur support (pour l’instant, seul figure ici le calcul de la puissance maximale)  ;

• —

  l’étude de la positivité et du support des polynômes en classes de Chern de fibrés en droites métrisés, le lien avec la posivité des fibrés résiduels en théorie de l’intersection pour l’équivalence numérique, leur détection via des germes de sous-variétés analytiques de dimension adéquate sur des extensions valuées complètes convenables ;

Nous comptons aussi discuter l’existence de métriques positives sur les fibrés amples, dont la mesure associée contienne des ensembles finis prescrits (essentiellement) arbitraires et prouver la continuité de l’intégrale de fonctions de Green contre les mesures canoniques, analogue de la « formule de Mahler », dans l’esprit de [46, 24]. Ce dernier point conduira naturellement à une théorie analytique des hauteurs de cycles en géométrie diophantienne.

Ce travail appelle un certain nombre de prolongements. Nous voudrions en citer brièvement quelques uns ici.

• —

  Développer une théorie plus complète des fonctions plurisousharmoniques, dans laquelle s’intégrerait les résultats récents de [19, 20].

• —

  Qu’est-ce qu’une forme de Kähler dans notre contexte  ? Y a-t-il un analogue du théorème de plongement de Kodaira  ?

• —

  Peut-on formuler et démontrer un analogue du théorème de Yau  ? Comme dans [57, 20], il semble que la partie unicité (théorème de Calabi) soit vraie, par la méthode de Błocki [12].

• —

  Développer une théorie sur $\mathbf{Z}$ dans le style de [49] ; comme notre théorie est d’essence ultramétrique, il faudra sans doute des arguments nouveaux pour traiter les places archimédiennes.

• —

  Ce formalisme peut-il être utilisé avec profit pour calculer des hauteurs de cycles spéciaux dans les variétés de Shimura, dans l’esprit des travaux de Gross-Zagier, Kudla, Rapoport… ;

• —

  Y a-t-il des théorèmes d’équidistribution en dynamique ultramétrique, parallèles à ceux de Briend-Duval, Guedj, Dinh-Sibony  ?

• —

  Développer une théorie d’Arakelov non archimédienne et, pour commencer, démontrer que tout cycle possède un courant de Green.

• —

  Quelle est la cohomologie de l’espace des formes et des courants ? Y a-t-il des liens avec les groupes d’homologie tropicaux des variétés tropicales (I. Itenberg, L. Katzarkov, G. Mikhalkin et I. Zharkov).

Une cellule de $V$ est une partie non vide de $V$ qui est une intersection finie de demi-espaces affines fermés. Soit $C$ une cellule de $V$ ; la dimension de $C$ est par définition la dimension du sous-espace affine $\langle C\rangle$ engendré par $C$  ; une $p$-cellule est une cellule de dimension $p$.

L’intérieur de $C$ est son intérieur topologique dans $\langle C\rangle$ et sera noté $\mathring{C}$ ; son complémentaire dans $C$ est appelé son bord et est noté $\partial C$. Le bord $\partial C$ est non vide si et seulement si $C$ est de dimension strictement positive.

Une partie $D$ de $V$ est un cellule ouverte si elle est égale à l’intérieur d’une cellule $C$, qui est alors uniquement déterminée : on a nécessairement $C=\overline{D}$. La dimension d’une cellule ouverte est par définition la dimension de la cellule fermée correspondante  ; une $p$-cellule ouverte est une cellule ouverte de dimension $p$.

Remarquons qu’une partie $C$ de $V$ est une $0$-cellule si et seulement si c’est un point, et c’est alors également une $0$-cellule ouverte, son bord étant vide.

Soit $C$ une cellule de $V$ et soit $H$ un sous-espace affine de $V$ qui rencontre $C$, et qui ou bien contient $C$, ou bien ne rencontre pas l’intérieur de $C$. L’intersection $C\cap H$ est alors une cellule, ou bien égale à $C$ ou bien contenue dans $\partial C$. On dira d’une telle cellule qu’elle est une face de $C$. L’intersection de deux faces de $C$ est ou bien vide, ou bien une face de $C$  ; le bord de $C$ est réunion de faces. Une $p$-face de $C$ est une face de $C$ de dimension $p$.

On dit qu’une partie $P$ de $V$ est un polytope si c’est une réunion finie de cellules de $V$.

Soit $P$ un polytope. Une décomposition cellulaire de $P$ est la donnée d’un ensemble fini $\mathscr{C}$ de cellules vérifiant les propriétés suivantes :

• —

  Le polytope $P$ est la réunion des cellules appartenant à $\mathscr{C}$ ;

• —

  Pour tout couple $(C,D)$ d’éléments de $\mathscr{C}$, $C\cap D$ est une face de $C$ et de $D$ ;

• —

  Pour tout $C\in\mathscr{C}$, toute face de $C$ appartient à $\mathscr{C}$.

Tout polytope admet une décomposition cellulaire.

Soit $\mathscr{C}$ une décomposition cellulaire d’un polytope $P$ de $V$. Les cellules ouvertes de $\mathscr{C}$ sont par définition les intérieurs des cellules de $\mathscr{C}$  ; elles sont deux à deux disjointes.

On dit qu’une décomposition cellulaire $\mathscr{C}^{\prime}$ de $P$ raffine la décomposition $\mathscr{C}$ si toute cellule de $\mathscr{C}^{\prime}$ est contenue dans une cellule de $\mathscr{C}$.

Soit $P$ un polytope de $V$ et soit $x\in P$.

La dimension de $P$ en $x$, notée $\dim_{x}(P)$, est la dimension maximale d’une cellule contenant $x$ et contenue dans $P$. La dimension de $P$, notée $\dim(P)$, est la borne supérieure de la famille $(\dim_{x}(P))_{x\in P}$ ; cette définition coïncide avec la précédente lorsque $P$ est une cellule. On dit que $P$ est purement de dimension $d$ si $\dim_{x}(P)=d$ pour tout $x\in P$  ; si $P$ est une $d$-cellule, il est purement de dimension $d$.

On dit que le point $x$ est un point intérieur de $P$ s’il existe un voisinage $C$ de $x$ dans $P$ qui est une cellule dont $x$ est un point intérieur  ; cette définition coïncide avec la précédente lorsque $P$ est lui-même une cellule. L’intérieur de $P$ est l’ensemble de ses points intérieurs. C’est un ouvert dense  ; son fermé complémentaire est appelé le bord de $P$ et est noté $\partial P$.

Supposons que $x$ soit un point intérieur de $P$ et soit $C$ un voisinage de $x$ dans $P$ qui est une cellule dont $x$ est un point intérieur. Le sous-espace affine $\langle C\rangle$ de $V$ ne dépend alors pas du choix de $C$  ; on l’appelle l’espace tangent à $P$ en $x$ et on le note $T_{x}P$. Le point $x$ possède un voisinage dans $P$ qui est un ouvert de $T_{x}P$.

Pour tout espace affine réel $V$, on note $\mathscr{A}_{V}$ le faisceau des fonctions $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $V$, $\overrightarrow{V}$ son espace directeur et $\overrightarrow{V}^{*}$ le dual de $\overrightarrow{V}$.

Soit $V$ un espace affine de dimension finie sur $\mathbf{R}$ Dans [43], Lagerberg définit comme suit la notion de superforme de type $(p,q)$ sur un ouvert $U$ de $V$, que nous appellerons simplement dans ce qui suit forme de type $(p,q)$ : c’est un élément de

Elles sont bien sûr nulles si $p>\dim(V)$ ou $q>\dim(V)$. En particulier, $\mathscr{A}_{V}^{0,0}(U)$ est l’anneau $\mathscr{A}_{V}(U)$ des fonctions $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $U$.

Une classe admissible de fonctions numériques $\mathscr{F}$ consiste en la donnée, pour tout espace affine réel $V$ de dimension finie d’un $\mathscr{A}_{V}$-module $\mathscr{F}_{V}$ de fonctions mesurables sur $V$, tel que pour toute application affine $f\colon W\to V$, tout ouvert $U$ de $V$ et tout $g\in\mathscr{F}_{V}(U)$, la composée $g\circ f$ appartienne à $\mathscr{F}_{W}(f^{-1}(U))$.

Par exemple, la classe des fonctions $\mathscr{C}^{r}$ pour $0\leq r\leq+\infty$, celle des fonctions mesurables, ou celle des fonctions localement intégrables, sont des classes admissibles de fonctions numériques.

Tout particulièrement dans le cas de ces deux derniers exemples, le lecteur prendra garde que les sections de $\mathscr{F}$ sont toujours de vraies fonctions : nous ne quotienterons jamais par le sous-espace des fonctions nulles presque partout.

On dira que la classe $\mathscr{F}$ est stable par multiplication si pour tout espace affine réel $V$ et tout ouvert $U$ de $V$, le produit de deux fonctions de $\mathscr{F}_{V}(U)$ appartient à $\mathscr{F}_{V}(U)$.

À l’exception de celle des fonctions intégrables, toutes les classes évoquées ci-dessus sont stables par multiplication.

Soit $\mathscr{F}$ une classe admissible de fonctions numériques. Une forme de type $(p,q)$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur l’ouvert $U$ est un élément de

Une fois choisie une base de $\overrightarrow{V}$ et une origine de $V$, on dispose de coordonnées $(x_{1},\dots,x_{n})$ qui permettent d’identifier $V$ à $\mathbf{R}^{n}$ (où $n=\dim(V)$). Pour distinguer les formes linéaires apparaissant dans le premier facteur $\Lambda^{p}\overrightarrow{V}^{*}$ de celles apparaissant dans le second $\Lambda^{q}\overrightarrow{V}^{*}$, on convient de noter systématiquement les premières avec le préfixe $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et les secondes avec le préfixe $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$. Une forme de type $(p,q)$ sur $U$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ s’écrit ainsi

où les $\omega_{I,J}$ appartiennent à $\mathscr{F}_{V}(U)$, et où $I=(i_{1},\dots,i_{p})$ et $J=(j_{1},\dots,j_{q})$ parcourent respectivement les suites strictement croissantes d’entiers compris entre $1$ et $n$.

On note $\mathrm{J}$ l’involution de l’algèbre $\mathscr{A}_{V}^{*,*}(U)$ qui induit l’isomorphisme identique de $\mathscr{A}_{V}^{1,0}(U)=\mathscr{A}_{V}(U)\otimes_{\mathbf{R}}V^{*}$ sur $\mathscr{A}_{V}^{0,1}(U)=\mathscr{A}_{V}(U)\otimes_{\mathbf{R}}V^{*}$. Elle induit une involution, encore notée $J$, du $\mathscr{A}_{V}(U)$-module gradué $\mathscr{F}_{V}^{*,*}(U)$, qui est un automorphisme de $\mathscr{F}_{V}(U)$-algèbre lorsque $\mathscr{F}$ est stable par multiplication.

En coordonnées, on a

Lorsque $p=q$, on dit qu’une forme $\omega$ de type $(p,p)$ est symétrique si elle vérifie $\mathrm{J}\omega=(-1)^{p}\omega$ ; cela revient donc à exiger que $\omega_{I,J}=\omega_{J,I}$ pour tout couple $(I,J)$.

La somme directe $\mathscr{A}_{V}^{*,*}(U)=\bigoplus\mathscr{A}_{V}^{p,q}(U)$ est naturellement munie d’une structure d’algèbre graduée sur l’anneau $\mathscr{A}_{V}(U)$ obéissant à la règle de commutativité suivante : si $\omega$ est de type $(p,q)$ et $\omega^{\prime}$ de type $(p^{\prime},q^{\prime})$, alors

Ainsi, la forme $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\otimes\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$ sera plutôt notée $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$.

Cette structure d’algèbre induit une structure de $\mathscr{A}_{V}(U)$-module gradué sur $\mathscr{F}_{V}^{*,*}(U)$ ; lorsque la classe $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, elle induit aussi une structure de $\mathscr{F}_{V}(U)$-algèbre graduée.

Les formes de type $(p,q)$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ constituent un faisceau en $\mathscr{A}_{V}$-modules sur $V$, qui sera noté $\mathscr{F}_{V}^{p,q}$. On a $\mathscr{F}_{V}^{p,q}=\mathscr{F}_{V}\otimes_{\mathscr{A}_{V}}\mathscr{A}_{V}^{p,q}$.

La somme directe $\bigoplus\mathscr{F}_{V}^{p,q}$ est un faisceau en $\mathscr{A}_{V}$-modules gradués, muni d’une involution $J$.

Lorsque $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, $\mathscr{F}_{V}^{p,q}$ est un faisceau en $\mathscr{F}_{V}$-algèbres graduées et $J$ est un morphisme de $\mathscr{F}_{V}$-algèbres.

Soit $f\colon V^{\prime}\rightarrow V$ une application affine entre deux espaces affines de dimension finie. On définit de façon évidente l’image réciproque $f^{*}\omega$ d’une forme $\omega$ de type $(p,q)$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur un ouvert $U$ de $V$ ; c’est une forme de type $(p,q)$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur $f^{-1}(U)$.

Les faisceaux $\mathscr{A}_{V}^{p,q}$ sont munis de deux opérateurs différentiels, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$, définis ainsi en coordonnées. Pour $\omega$ comme ci-dessus,

Ainsi, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ est de type $(p+1,q)$, tandis que $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$ est de type $(p,q+1)$. Notons que pour $i\in\{1,\dots,n\}$, les symboles $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i}$ sont bien les images par $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ de la fonction affine $x_{i}$ sur $V$. Remarquons aussi que la différentielle $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ n’est autre que l’opérateur induit par la connexion naturelle dans le fibré vectoriel trivial de fibre $\Lambda^{q}\overrightarrow{V}^{*}$.

Ces opérateurs s’étendent de façon évidente aux formes à coefficients dans une classe admissible de fonctions, pourvu que cette classe ait une régularité suffisante. Par exemple, si $\omega$ est une forme de type $(p,q)$ à coefficients de classe $\mathscr{C}^{r}$, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$ sont des formes de types $(p+1,q)$ et $(p,q+1)$ à coefficients de classe $\mathscr{C}^{r-1}$.

Les opérateurs $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ sont des dérivations de l’algèbre graduée $\mathscr{A}^{*,*}(U)$. Si $\omega$ et $\omega^{\prime}$ sont respectivement de type $(p,q)$ et $(p^{\prime},q^{\prime})$, on a

et de même pour $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}(\omega\wedge\omega^{\prime})$.

Soit $\omega$ une $(n,n)$-forme à coefficients mesurables sur un ouvert $U$ de $\mathbf{R}^{n}$, donnée en coordonnées par la formule

où $\omega^{\sharp}$ est donc une fonction mesurable sur $U$. Si $\omega^{\sharp}$ est intégrable sur $U$, Lagerberg a défini l’intégrale de $\omega$ par la formule

où $\mathrm{d}x_{1}\dots\mathrm{d}x_{n}$ désigne la mesure de Lebesgue.

Si $f\colon\mathbf{R}^{n}\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ est une application affine bijective, d’application linéaire associée $\overrightarrow{f}$, on a

Soit $n$ un entier naturel et soit $V$ un espace affine de dimension $n$ sur $\mathbf{R}$. Pour définir l’intégrale d’une $(n,n)$ forme intégrable $\omega$ sur un ouvert $U$ de $V$, il suffit de fixer un isomorphisme affine de $V$ sur $\mathbf{R}^{n}$ et d’appliquer la définition ci-dessus. Le problème est que le résultat obtenu dépend de l’isomorphisme choisi : en effet, par ce qui précède, deux isomorphismes $u$ et $u^{\prime}$ fournissent la même notion d’intégrale si et seulement le jacobien de l’automorphisme affine $u^{\prime}\circ u^{-1}$ de $\mathbf{R}^{n}$ est égal à $\pm 1$.

Pour définir l’intégrale d’une $(n,n)$-forme sur un ouvert d’un espace affine, des données supplémentaires sont donc nécessaires. Comme on vient de le voir, ce peut être, un système de coordonnées affines  ; mais comme la dépendance en un tel système ne fait intervenir que la valeur absolue du jacobien du changement de variables, il est suffisant de se donner un $n$-vecteur et une orientation.

Le but des paragraphes qui suivent est d’expliciter cette assertion un peu vague et de définir du même coup l’intégrale d’une $(n-1,n)$-forme sur le bord d’un demi-espace de $V$.

Soit $V$ un $\mathbf{R}$-espace affine de dimension finie. Soit $\mathscr{F}$ la classe des fonctions numériques mesurables sur un espace affine, et soit $\mathscr{L}^{1}$ la sous-classe formée des fonctions intégrables pour la mesure de Lebesgue. (On n’identifie pas deux fonctions égales presque partout.)

Soit $W$ un sous-espace affine de $V$, soit $p$ sa dimension ; soit $o$ une orientation de $W$.

Soit $n$ un entier naturel et soit $\lambda\in\Lambda^{n}V$. Soit $\omega$ une $(p,n)$-forme à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur un ouvert $U$ de $V$. On note $\langle\omega,\lambda\rangle$ la $(p,0)$-forme sur $V$ déduite de $\omega$ en contractant par $\lambda$ la partie faisant intervenir les variables en $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ ; c’est donc une $p$-forme (au sens usuel de la géométrie différentielle) à coefficients mesurables sur $V$. On note alors

la masse totale de la mesure sur $U\cap W$ déduite de la restriction à $W$ de la $p$-forme $\langle\omega,\lambda\rangle$. On dit que $\omega$ est intégrable sur $W\cap U$ si cette masse totale est finie.

Dans ce cas, l’orientation $o$ fixée sur $W$ permet de définir l’intégrale de $\langle\omega,\lambda\rangle$ sur $U\cap W$ ; sous-entendant le choix de l’orientation $o$, on note naturellement

cette intégrale.

Les formes $\omega$ de type $(p,n)$ à coefficients mesurables sur $U$ qui sont intégrables sur $W$ forment un sous-espace vectoriel de $\mathscr{F}^{p,n}_{V}(U)$. L’application $\omega\mapsto\int_{U\cap W}\langle\omega,\lambda\rangle$ est linéaire.

Lorsqu’on change l’orientation $o$ en l’orientation opposée, l’intégrale d’une forme (par rapport à $(o,\lambda)$) est transformée en son opposée. De même, lorsqu’on change le $n$-vecteur $\lambda$ en le multiple $a\lambda$, l’intégrale d’une forme est multipliée par $a$.

En particulier, la notion d’intégrabilité et l’intégrale ne sont pas modifiées si l’on change simultanément l’orientation $o$ en l’orientation opposée et le $n$-vecteur $\lambda$ en son opposé $-\lambda$. Ces notions ne dépendent donc que de la classe $\mu$ du couple $(o,\lambda)$ dans le produit contracté $\operatorname{Or}(\overrightarrow{W})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ de l’ensemble des orientations sur $\overrightarrow{W}$ et de l’espace des $n$-vecteurs sur $\overrightarrow{V}$, munis des actions naturelles de $\{-1,1\}$.

On notera ainsi $\int_{U\cap W}\langle\omega,\mu\rangle$ et $\int_{U\cap W}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle$ ce qui était noté $\int_{U\cap W}\langle\omega,\lambda\rangle$ et $\int_{U\cap W}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\lambda}\mathclose{|}\rangle$.

On peut penser aux symboles $\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ et $\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}$ comme représentant « $\omega$ et $\mu$ au signe près ».

Supposons que $n$ soit égal à la dimension de $V$. Nous appellerons vecteur-volume sur $V$ un élément du produit contracté $\mathopen{|}{\Lambda^{n}\overrightarrow{V}}\mathclose{|}=\operatorname{Or}(\overrightarrow{V})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$. Concrètement, on obtient bien sûr un tel vecteur-volume à partir d’une base $(e_{1},\ldots,e_{n})$ de $\overrightarrow{V}$, décrétée directe, et d’un $n$-vecteur $a\overrightarrow{e}_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}$ de $\overrightarrow{V}$. Soit $U$ un ouvert de $V$.

D’après les paragraphes précédents, une fois choisi un vecteur-volume $\mu$ sur $V$, on peut définir : l’intégrale $\int_{U}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle$ pour toute forme mesurable $\omega$ de type $(n,n)$ sur $U$ de $V$  ; la notion de $\mu$-intégrabilité d’une telle forme  ; et, pour une $(n,n)$-forme $\omega$ sur $U$ qui est mesurable et $\mu$-intégrable, l’intégrale $\int_{U}\langle\omega,\mu\rangle$.

Si $\omega=\omega^{\sharp}(x_{1},\ldots,x_{n})\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\ldots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n}$ en coordonnées dans un repère $(O,e_{1},\ldots,e_{n})$ alors $\omega$ est $\mu$-intégrable si et seulement si la fonction $a\omega^{\sharp}$ sur $U$ est intégrable. Cela ne dépend d’ailleurs pas de $a$, sauf si $a=0$ auquel cas toute forme mesurable est $\mu$-intégrable.

On a

et

lorsque $\omega$ est $\mu$-intégrable. Lorsque $a=1$, on retrouve la formule de Lagerberg.

Soit $f\colon V\rightarrow V^{\prime}$ un isomorphisme d’espaces affines de dimension finie et soit $\mu$ un vecteur-volume sur $V$.

Soit $f_{*}(\mu)$ le vecteur volume sur $V^{\prime}$ déduit de $\mu$ par transport de structure.

Soit $\omega^{\prime}$ une $(n,n)$-forme à coefficients mesurables sur $V^{\prime}$ et soit $\omega=f^{*}\omega^{\prime}$. Pour que $\omega$ soit $\mu$-intégrable, il faut et il suffit que $\omega^{\prime}$ soit $f_{*}(\mu)$-intégrable ; alors,