Une cellule de $V$ est une partie non vide de $V$ qui est une intersection finie de demi-espaces affines fermés. Soit $C$ une cellule de $V$ ; la dimension de $C$ est par définition la dimension du sous-espace affine $\langle C\rangle$ engendré par $C$  ; une $p$-cellule est une cellule de dimension $p$.

L’intérieur de $C$ est son intérieur topologique dans $\langle C\rangle$ et sera noté $\mathring{C}$ ; son complémentaire dans $C$ est appelé son bord et est noté $\partial C$. Le bord $\partial C$ est non vide si et seulement si $C$ est de dimension strictement positive.

Une partie $D$ de $V$ est un cellule ouverte si elle est égale à l’intérieur d’une cellule $C$, qui est alors uniquement déterminée : on a nécessairement $C=\overline{D}$. La dimension d’une cellule ouverte est par définition la dimension de la cellule fermée correspondante  ; une $p$-cellule ouverte est une cellule ouverte de dimension $p$.

Remarquons qu’une partie $C$ de $V$ est une $0$-cellule si et seulement si c’est un point, et c’est alors également une $0$-cellule ouverte, son bord étant vide.

Soit $C$ une cellule de $V$ et soit $H$ un sous-espace affine de $V$ qui rencontre $C$, et qui ou bien contient $C$, ou bien ne rencontre pas l’intérieur de $C$. L’intersection $C\cap H$ est alors une cellule, ou bien égale à $C$ ou bien contenue dans $\partial C$. On dira d’une telle cellule qu’elle est une face de $C$. L’intersection de deux faces de $C$ est ou bien vide, ou bien une face de $C$  ; le bord de $C$ est réunion de faces. Une $p$-face de $C$ est une face de $C$ de dimension $p$.

On dit qu’une partie $P$ de $V$ est un polytope si c’est une réunion finie de cellules de $V$.

Soit $P$ un polytope. Une décomposition cellulaire de $P$ est la donnée d’un ensemble fini $\mathscr{C}$ de cellules vérifiant les propriétés suivantes :

• —

  Le polytope $P$ est la réunion des cellules appartenant à $\mathscr{C}$ ;

• —

  Pour tout couple $(C,D)$ d’éléments de $\mathscr{C}$, $C\cap D$ est une face de $C$ et de $D$ ;

• —

  Pour tout $C\in\mathscr{C}$, toute face de $C$ appartient à $\mathscr{C}$.

Tout polytope admet une décomposition cellulaire.

Soit $\mathscr{C}$ une décomposition cellulaire d’un polytope $P$ de $V$. Les cellules ouvertes de $\mathscr{C}$ sont par définition les intérieurs des cellules de $\mathscr{C}$  ; elles sont deux à deux disjointes.

On dit qu’une décomposition cellulaire $\mathscr{C}^{\prime}$ de $P$ raffine la décomposition $\mathscr{C}$ si toute cellule de $\mathscr{C}^{\prime}$ est contenue dans une cellule de $\mathscr{C}$.

Soit $P$ un polytope de $V$ et soit $x\in P$.

La dimension de $P$ en $x$, notée $\dim_{x}(P)$, est la dimension maximale d’une cellule contenant $x$ et contenue dans $P$. La dimension de $P$, notée $\dim(P)$, est la borne supérieure de la famille $(\dim_{x}(P))_{x\in P}$ ; cette définition coïncide avec la précédente lorsque $P$ est une cellule. On dit que $P$ est purement de dimension $d$ si $\dim_{x}(P)=d$ pour tout $x\in P$  ; si $P$ est une $d$-cellule, il est purement de dimension $d$.

On dit que le point $x$ est un point intérieur de $P$ s’il existe un voisinage $C$ de $x$ dans $P$ qui est une cellule dont $x$ est un point intérieur  ; cette définition coïncide avec la précédente lorsque $P$ est lui-même une cellule. L’intérieur de $P$ est l’ensemble de ses points intérieurs. C’est un ouvert dense  ; son fermé complémentaire est appelé le bord de $P$ et est noté $\partial P$.

Supposons que $x$ soit un point intérieur de $P$ et soit $C$ un voisinage de $x$ dans $P$ qui est une cellule dont $x$ est un point intérieur. Le sous-espace affine $\langle C\rangle$ de $V$ ne dépend alors pas du choix de $C$  ; on l’appelle l’espace tangent à $P$ en $x$ et on le note $T_{x}P$. Le point $x$ possède un voisinage dans $P$ qui est un ouvert de $T_{x}P$.

Pour tout espace affine réel $V$, on note $\mathscr{A}_{V}$ le faisceau des fonctions $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $V$, $\overrightarrow{V}$ son espace directeur et $\overrightarrow{V}^{*}$ le dual de $\overrightarrow{V}$.

Soit $V$ un espace affine de dimension finie sur $\mathbf{R}$ Dans [43], Lagerberg définit comme suit la notion de superforme de type $(p,q)$ sur un ouvert $U$ de $V$, que nous appellerons simplement dans ce qui suit forme de type $(p,q)$ : c’est un élément de

Elles sont bien sûr nulles si $p>\dim(V)$ ou $q>\dim(V)$. En particulier, $\mathscr{A}_{V}^{0,0}(U)$ est l’anneau $\mathscr{A}_{V}(U)$ des fonctions $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $U$.

Une classe admissible de fonctions numériques $\mathscr{F}$ consiste en la donnée, pour tout espace affine réel $V$ de dimension finie d’un $\mathscr{A}_{V}$-module $\mathscr{F}_{V}$ de fonctions mesurables sur $V$, tel que pour toute application affine $f\colon W\to V$, tout ouvert $U$ de $V$ et tout $g\in\mathscr{F}_{V}(U)$, la composée $g\circ f$ appartienne à $\mathscr{F}_{W}(f^{-1}(U))$.

Par exemple, la classe des fonctions $\mathscr{C}^{r}$ pour $0\leq r\leq+\infty$, celle des fonctions mesurables, ou celle des fonctions localement intégrables, sont des classes admissibles de fonctions numériques.

Tout particulièrement dans le cas de ces deux derniers exemples, le lecteur prendra garde que les sections de $\mathscr{F}$ sont toujours de vraies fonctions : nous ne quotienterons jamais par le sous-espace des fonctions nulles presque partout.

On dira que la classe $\mathscr{F}$ est stable par multiplication si pour tout espace affine réel $V$ et tout ouvert $U$ de $V$, le produit de deux fonctions de $\mathscr{F}_{V}(U)$ appartient à $\mathscr{F}_{V}(U)$.

À l’exception de celle des fonctions intégrables, toutes les classes évoquées ci-dessus sont stables par multiplication.

Soit $\mathscr{F}$ une classe admissible de fonctions numériques. Une forme de type $(p,q)$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur l’ouvert $U$ est un élément de

Une fois choisie une base de $\overrightarrow{V}$ et une origine de $V$, on dispose de coordonnées $(x_{1},\dots,x_{n})$ qui permettent d’identifier $V$ à $\mathbf{R}^{n}$ (où $n=\dim(V)$). Pour distinguer les formes linéaires apparaissant dans le premier facteur $\Lambda^{p}\overrightarrow{V}^{*}$ de celles apparaissant dans le second $\Lambda^{q}\overrightarrow{V}^{*}$, on convient de noter systématiquement les premières avec le préfixe $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et les secondes avec le préfixe $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$. Une forme de type $(p,q)$ sur $U$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ s’écrit ainsi

où les $\omega_{I,J}$ appartiennent à $\mathscr{F}_{V}(U)$, et où $I=(i_{1},\dots,i_{p})$ et $J=(j_{1},\dots,j_{q})$ parcourent respectivement les suites strictement croissantes d’entiers compris entre $1$ et $n$.

On note $\mathrm{J}$ l’involution de l’algèbre $\mathscr{A}_{V}^{*,*}(U)$ qui induit l’isomorphisme identique de $\mathscr{A}_{V}^{1,0}(U)=\mathscr{A}_{V}(U)\otimes_{\mathbf{R}}V^{*}$ sur $\mathscr{A}_{V}^{0,1}(U)=\mathscr{A}_{V}(U)\otimes_{\mathbf{R}}V^{*}$. Elle induit une involution, encore notée $J$, du $\mathscr{A}_{V}(U)$-module gradué $\mathscr{F}_{V}^{*,*}(U)$, qui est un automorphisme de $\mathscr{F}_{V}(U)$-algèbre lorsque $\mathscr{F}$ est stable par multiplication.

En coordonnées, on a

Lorsque $p=q$, on dit qu’une forme $\omega$ de type $(p,p)$ est symétrique si elle vérifie $\mathrm{J}\omega=(-1)^{p}\omega$ ; cela revient donc à exiger que $\omega_{I,J}=\omega_{J,I}$ pour tout couple $(I,J)$.

La somme directe $\mathscr{A}_{V}^{*,*}(U)=\bigoplus\mathscr{A}_{V}^{p,q}(U)$ est naturellement munie d’une structure d’algèbre graduée sur l’anneau $\mathscr{A}_{V}(U)$ obéissant à la règle de commutativité suivante : si $\omega$ est de type $(p,q)$ et $\omega^{\prime}$ de type $(p^{\prime},q^{\prime})$, alors

Ainsi, la forme $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\otimes\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$ sera plutôt notée $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$.

Cette structure d’algèbre induit une structure de $\mathscr{A}_{V}(U)$-module gradué sur $\mathscr{F}_{V}^{*,*}(U)$ ; lorsque la classe $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, elle induit aussi une structure de $\mathscr{F}_{V}(U)$-algèbre graduée.

Les formes de type $(p,q)$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ constituent un faisceau en $\mathscr{A}_{V}$-modules sur $V$, qui sera noté $\mathscr{F}_{V}^{p,q}$. On a $\mathscr{F}_{V}^{p,q}=\mathscr{F}_{V}\otimes_{\mathscr{A}_{V}}\mathscr{A}_{V}^{p,q}$.

La somme directe $\bigoplus\mathscr{F}_{V}^{p,q}$ est un faisceau en $\mathscr{A}_{V}$-modules gradués, muni d’une involution $J$.

Lorsque $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, $\mathscr{F}_{V}^{p,q}$ est un faisceau en $\mathscr{F}_{V}$-algèbres graduées et $J$ est un morphisme de $\mathscr{F}_{V}$-algèbres.

Soit $f\colon V^{\prime}\rightarrow V$ une application affine entre deux espaces affines de dimension finie. On définit de façon évidente l’image réciproque $f^{*}\omega$ d’une forme $\omega$ de type $(p,q)$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur un ouvert $U$ de $V$ ; c’est une forme de type $(p,q)$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur $f^{-1}(U)$.

Les faisceaux $\mathscr{A}_{V}^{p,q}$ sont munis de deux opérateurs différentiels, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$, définis ainsi en coordonnées. Pour $\omega$ comme ci-dessus,

Ainsi, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ est de type $(p+1,q)$, tandis que $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$ est de type $(p,q+1)$. Notons que pour $i\in\{1,\dots,n\}$, les symboles $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i}$ sont bien les images par $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ de la fonction affine $x_{i}$ sur $V$. Remarquons aussi que la différentielle $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ n’est autre que l’opérateur induit par la connexion naturelle dans le fibré vectoriel trivial de fibre $\Lambda^{q}\overrightarrow{V}^{*}$.

Ces opérateurs s’étendent de façon évidente aux formes à coefficients dans une classe admissible de fonctions, pourvu que cette classe ait une régularité suffisante. Par exemple, si $\omega$ est une forme de type $(p,q)$ à coefficients de classe $\mathscr{C}^{r}$, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$ sont des formes de types $(p+1,q)$ et $(p,q+1)$ à coefficients de classe $\mathscr{C}^{r-1}$.

Les opérateurs $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ sont des dérivations de l’algèbre graduée $\mathscr{A}^{*,*}(U)$. Si $\omega$ et $\omega^{\prime}$ sont respectivement de type $(p,q)$ et $(p^{\prime},q^{\prime})$, on a

et de même pour $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}(\omega\wedge\omega^{\prime})$.

Soit $\omega$ une $(n,n)$-forme à coefficients mesurables sur un ouvert $U$ de $\mathbf{R}^{n}$, donnée en coordonnées par la formule

où $\omega^{\sharp}$ est donc une fonction mesurable sur $U$. Si $\omega^{\sharp}$ est intégrable sur $U$, Lagerberg a défini l’intégrale de $\omega$ par la formule

où $\mathrm{d}x_{1}\dots\mathrm{d}x_{n}$ désigne la mesure de Lebesgue.

Si $f\colon\mathbf{R}^{n}\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ est une application affine bijective, d’application linéaire associée $\overrightarrow{f}$, on a

Soit $n$ un entier naturel et soit $V$ un espace affine de dimension $n$ sur $\mathbf{R}$. Pour définir l’intégrale d’une $(n,n)$ forme intégrable $\omega$ sur un ouvert $U$ de $V$, il suffit de fixer un isomorphisme affine de $V$ sur $\mathbf{R}^{n}$ et d’appliquer la définition ci-dessus. Le problème est que le résultat obtenu dépend de l’isomorphisme choisi : en effet, par ce qui précède, deux isomorphismes $u$ et $u^{\prime}$ fournissent la même notion d’intégrale si et seulement le jacobien de l’automorphisme affine $u^{\prime}\circ u^{-1}$ de $\mathbf{R}^{n}$ est égal à $\pm 1$.

Pour définir l’intégrale d’une $(n,n)$-forme sur un ouvert d’un espace affine, des données supplémentaires sont donc nécessaires. Comme on vient de le voir, ce peut être, un système de coordonnées affines  ; mais comme la dépendance en un tel système ne fait intervenir que la valeur absolue du jacobien du changement de variables, il est suffisant de se donner un $n$-vecteur et une orientation.

Le but des paragraphes qui suivent est d’expliciter cette assertion un peu vague et de définir du même coup l’intégrale d’une $(n-1,n)$-forme sur le bord d’un demi-espace de $V$.

Soit $V$ un $\mathbf{R}$-espace affine de dimension finie. Soit $\mathscr{F}$ la classe des fonctions numériques mesurables sur un espace affine, et soit $\mathscr{L}^{1}$ la sous-classe formée des fonctions intégrables pour la mesure de Lebesgue. (On n’identifie pas deux fonctions égales presque partout.)

Soit $W$ un sous-espace affine de $V$, soit $p$ sa dimension ; soit $o$ une orientation de $W$.

Soit $n$ un entier naturel et soit $\lambda\in\Lambda^{n}V$. Soit $\omega$ une $(p,n)$-forme à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur un ouvert $U$ de $V$. On note $\langle\omega,\lambda\rangle$ la $(p,0)$-forme sur $V$ déduite de $\omega$ en contractant par $\lambda$ la partie faisant intervenir les variables en $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ ; c’est donc une $p$-forme (au sens usuel de la géométrie différentielle) à coefficients mesurables sur $V$. On note alors

la masse totale de la mesure sur $U\cap W$ déduite de la restriction à $W$ de la $p$-forme $\langle\omega,\lambda\rangle$. On dit que $\omega$ est intégrable sur $W\cap U$ si cette masse totale est finie.

Dans ce cas, l’orientation $o$ fixée sur $W$ permet de définir l’intégrale de $\langle\omega,\lambda\rangle$ sur $U\cap W$ ; sous-entendant le choix de l’orientation $o$, on note naturellement

cette intégrale.

Les formes $\omega$ de type $(p,n)$ à coefficients mesurables sur $U$ qui sont intégrables sur $W$ forment un sous-espace vectoriel de $\mathscr{F}^{p,n}_{V}(U)$. L’application $\omega\mapsto\int_{U\cap W}\langle\omega,\lambda\rangle$ est linéaire.

Lorsqu’on change l’orientation $o$ en l’orientation opposée, l’intégrale d’une forme (par rapport à $(o,\lambda)$) est transformée en son opposée. De même, lorsqu’on change le $n$-vecteur $\lambda$ en le multiple $a\lambda$, l’intégrale d’une forme est multipliée par $a$.

En particulier, la notion d’intégrabilité et l’intégrale ne sont pas modifiées si l’on change simultanément l’orientation $o$ en l’orientation opposée et le $n$-vecteur $\lambda$ en son opposé $-\lambda$. Ces notions ne dépendent donc que de la classe $\mu$ du couple $(o,\lambda)$ dans le produit contracté $\operatorname{Or}(\overrightarrow{W})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ de l’ensemble des orientations sur $\overrightarrow{W}$ et de l’espace des $n$-vecteurs sur $\overrightarrow{V}$, munis des actions naturelles de $\{-1,1\}$.

On notera ainsi $\int_{U\cap W}\langle\omega,\mu\rangle$ et $\int_{U\cap W}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle$ ce qui était noté $\int_{U\cap W}\langle\omega,\lambda\rangle$ et $\int_{U\cap W}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\lambda}\mathclose{|}\rangle$.

On peut penser aux symboles $\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ et $\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}$ comme représentant « $\omega$ et $\mu$ au signe près ».

Supposons que $n$ soit égal à la dimension de $V$. Nous appellerons vecteur-volume sur $V$ un élément du produit contracté $\mathopen{|}{\Lambda^{n}\overrightarrow{V}}\mathclose{|}=\operatorname{Or}(\overrightarrow{V})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$. Concrètement, on obtient bien sûr un tel vecteur-volume à partir d’une base $(e_{1},\ldots,e_{n})$ de $\overrightarrow{V}$, décrétée directe, et d’un $n$-vecteur $a\overrightarrow{e}_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}$ de $\overrightarrow{V}$. Soit $U$ un ouvert de $V$.

D’après les paragraphes précédents, une fois choisi un vecteur-volume $\mu$ sur $V$, on peut définir : l’intégrale $\int_{U}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle$ pour toute forme mesurable $\omega$ de type $(n,n)$ sur $U$ de $V$  ; la notion de $\mu$-intégrabilité d’une telle forme  ; et, pour une $(n,n)$-forme $\omega$ sur $U$ qui est mesurable et $\mu$-intégrable, l’intégrale $\int_{U}\langle\omega,\mu\rangle$.

Si $\omega=\omega^{\sharp}(x_{1},\ldots,x_{n})\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\ldots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n}$ en coordonnées dans un repère $(O,e_{1},\ldots,e_{n})$ alors $\omega$ est $\mu$-intégrable si et seulement si la fonction $a\omega^{\sharp}$ sur $U$ est intégrable. Cela ne dépend d’ailleurs pas de $a$, sauf si $a=0$ auquel cas toute forme mesurable est $\mu$-intégrable.

On a

et

lorsque $\omega$ est $\mu$-intégrable. Lorsque $a=1$, on retrouve la formule de Lagerberg.

Soit $f\colon V\rightarrow V^{\prime}$ un isomorphisme d’espaces affines de dimension finie et soit $\mu$ un vecteur-volume sur $V$.

Soit $f_{*}(\mu)$ le vecteur volume sur $V^{\prime}$ déduit de $\mu$ par transport de structure.

Soit $\omega^{\prime}$ une $(n,n)$-forme à coefficients mesurables sur $V^{\prime}$ et soit $\omega=f^{*}\omega^{\prime}$. Pour que $\omega$ soit $\mu$-intégrable, il faut et il suffit que $\omega^{\prime}$ soit $f_{*}(\mu)$-intégrable ; alors,

On suppose toujours que $n$ est la dimension de $V$. Soit $V_{+}$ un demi-espace fermé de $V$ ; c’est un sous-espace linéaire par morceaux de $V$ dont le bord $\partial V_{+}$ est un hyperplan affine. Si $\ell$ est une forme affine telle que $V_{+}=\{\ell\geq 0\}$, on dit qu’un vecteur $v\in\overrightarrow{V}$ est sortant de $V_{+}$ si $\ell(v)\leq 0$, l’adverbe strictement signifiant que l’inégalité précédente est stricte.

Tout vecteur-volume $\mu$ sur $V$ induit canoniquement un élément $\partial\mu_{+}$ de $\operatorname{Or}(\overrightarrow{\partial V_{+}})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ défini comme suit. On choisit une orientation $o$ de $\overrightarrow{\partial V_{+}}$, une base directe $(e_{2},\ldots,e_{n})$ de $\overrightarrow{\partial V_{+}}$, un vecteur $e_{1}$ strictement sortant de $V_{+}$, et l’on note $o^{\prime}$ l’orientation de $V$ pour laquelle la base $(e_{1},\ldots,e_{n})$ est directe. Il existe alors un unique $\lambda\in\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ tel que $(o^{\prime},\lambda)$ soit égal à $\mu$ dans $\mathopen{|}{\Lambda^{n}\overrightarrow{V}}\mathclose{|}$. Le couple $(o,\lambda)$ définit un élément $\partial\mu_{+}$ de $\operatorname{Or}(\overrightarrow{\partial V})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ qui est indépendant des choix faits.

D’après les paragraphes 1.3.3 et 1.3.4, on peut alors définir : l’intégrale $\int_{U\cap\partial V_{+}}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\partial\mu_{+}}\mathclose{|}\rangle$ pour toute forme mesurable $\omega$ de type $(n-1,n)$ sur $U$  ; la notion de $\partial\mu_{+}$-intégrabilité d’une telle forme sur $\partial V_{+}$  ; et, pour une forme $\omega$ sur $U$ qui est mesurable et $\partial\mu_{+}$-intégrable sur $\partial V_{+}$, l’intégrale $\int_{U\cap\partial V_{+}}\langle\omega,\partial\mu_{+}\rangle$.

Concrètement, choisissons $(e_{1},\dots,e_{n})$ comme ci-dessus. Cette base étant vue comme directe, le vecteur volume $\mu$ est donné par un $n$-vecteur $ae_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}$ de $\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$. Choisissons aussi une origine sur $\partial V_{+}$ ; dans les coordonnées correspondantes, on peut écrire

On a alors

La forme $\omega$ est $\partial\mu_{+}$-intégrable sur $W$ si et seulement si $a\omega_{1}(0,*,\ldots,*)$ est $L^{1}$ (ce qui ne dépend pas de $a$, sauf si celui-ci est nul, auquel cas toute forme mesurable est $\partial\mu_{+}$-intégrable). Si c’est le cas,

Fixons une classe admissible $\mathscr{F}$ de fonctions numériques. Soit $V$ un espace affine de dimension finie sur $\mathbf{R}$ et soit $P$ un polytope de $V$ ; on note $j$ l’injection canonique de $P$ dans $V$.

Soit $U$ un ouvert de $P$. On définit $\mathscr{N}^{p,q}(U)$ comme le sous-espace vectoriel de $j^{-1}(\mathscr{F}_{V}^{p,q})(U)$ constitué des formes $\omega$ possédant la propriété suivante : pour toute cellule $C$ de $V$ contenue dans $P$, l’image de $\omega$ dans $\mathscr{F}^{p,q}_{\langle C\rangle}(\langle C\rangle\cap U)$, dont le germe au voisinage de $C\cap U$ est défini sans ambiguïté, est nulle en tout point de $C\cap U$. Comme

cette propriété se traduit, en coordonnées, par la nullité d’un certain nombre d’applications sur $C\cap U$.

Pour vérifier qu’une section de $j^{-1}(\mathscr{F}_{V}^{p,q})(U)$ appartient à $\mathscr{N}^{p,q}(U)$, il suffit de s’assurer que la condition ci-dessus est satisfaite sur un ensemble de cellules recouvrant $P$ (par exemple, sur une décomposition cellulaire de $P$). Lorsque $\mathscr{F}$ est contenue dans la classe des fonctions continues, on peut se contenter de tester l’annulation requise en les points intérieurs des cellules considérées.

Il est immédiat que $\mathscr{N}^{p,q}$ est un sous-faisceau en $\mathbf{R}$-espaces vectoriels de $j^{-1}(\mathscr{F}_{V}^{p,q})$. On définit alors le faisceau $\mathscr{F}_{P}^{p,q}$ comme le faisceau quotient de $j^{-1}(\mathscr{F}_{V}^{p,q})$ par son sous-faisceau $\mathscr{N}^{p,q}$. Cette définition est compatible avec la précédente lorsque $P$ est un sous-espace affine de $V$.

Le faisceau $\mathscr{F}^{*,*}_{P}$ est un $\mathscr{A}_{P}$-module gradué, et une $\mathscr{F}_{P}$-algèbre graduée si $\mathscr{F}$ est stable par multiplication. On écrira $\mathscr{F}_{P}$ au lieu de $\mathscr{F}^{0,0}_{P}$, et parfois $\Omega^{p}_{P}$ au lieu de $\mathscr{A}^{p,0}_{P}$. Lorsque $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, $\mathscr{F}_{P}$ un faisceau d’anneaux.

On notera que la notion de fonction (et donc de superforme) lisse sur un polytope d’un espace affine dépend de la façon dont ce polytope est plongé.

Soit par exemple $P$ le graphe de $\mathbf{R}^{2}$, réunion des segments $[(-1,0),(0,0)]$ et $[(0,0),(1,1)]$ et $Q=[-1,1]$ son image dans $\mathbf{R}$ par la première projection $p\colon\mathbf{R}^{2}\rightarrow\mathbf{R}$. L’application $p$ induit un isomorphisme d’espaces linéaires par morceaux de $P$ sur $Q$.

La fonction $f$ sur $Q$ définie par $f(x)=\max(x,0)$ est continue, mais n’est pas lisse. En revanche, la fonction $f\circ p$ sur $Q$ est lisse, comme restriction de la seconde coordonnée.

La tige en l’origine du faisceau des $(1,0)$-formes sur $P$ est de dimension $2$, engendrée par les images de $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x$ et $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}y$, tandis que la tige correspondante sur $Q$ n’est que de dimension $1$, engendrée par $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x$.

Soit $P$ un polytope d’un espace affine réel $V$ de dimension finie et soit $\omega$ une forme de type $(p,n)$ à coefficients mesurables sur un ouvert $U$ de $P$.

Si $W$ est un sous-espace affine de $V$ de dimension $p$ et si $\mu$ est un élément de $\operatorname{Or}(\overrightarrow{W})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$, on définit les intégrales $\int_{U\cap W}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle$ et, le cas échéant, $\int_{U\cap W}\langle\omega,\mu\rangle$ exactement comme en 1.3.3 : elles se ramènent à des intégrales de formes différentielles classiques, cf. la remarque 1.4.2.

L’opérateur de symétrie $\mathrm{J}$ applique $\mathscr{N}^{p,q}$ dans $\mathscr{N}^{q,p}$ et induit un morphisme de faisceaux, toujours noté $\mathrm{J}$, de $\mathscr{F}^{p,q}_{P}$ dans $\mathscr{F}^{q,p}_{P}$ tel que $\mathrm{J}\circ\mathrm{J}=\operatorname{id}$.

Supposons que $\mathscr{F}=\mathscr{A}$. Les opérateurs différentiels $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ sur $j^{-1}\mathscr{A}_{V}^{p,q}$ appliquent alors $\mathscr{N}^{p,q}$ dans $\mathscr{N}^{p+1,q}$ et $\mathscr{N}^{p,q+1}$ respectivement. Ils induisent donc des opérateurs différentiels de $\mathscr{A}^{p,q}_{P}$ dans $\mathscr{A}^{p+1,q}_{P}$ et $\mathscr{A}^{p,q+1}_{P}$ respectivement.

Ces constructions sont fonctorielles pour les morphismes affines. Soit $P$ et $P^{\prime}$ des polytopes de $V$ et $V^{\prime}$ respectivement et soit $f\colon P\to P^{\prime}$ une application égale à la restriction d’une application affine $g\colon V\to V^{\prime}$. Notons $j$ et $j^{\prime}$ les immersions de $P$ dans $V$ et de $P^{\prime}$ dans $V^{\prime}$. Soit $(p,q)\in\mathbf{N}\times\mathbf{N}$. L’application affine $g$ induit un morphisme de faisceaux de $j^{-1}\mathscr{F}^{p,q}_{V^{\prime}}$ dans $(j^{\prime})^{-1}\mathscr{F}^{p,q}_{V}$ qui applique $\mathscr{N}_{P^{\prime}}^{p,q}$ dans $\mathscr{N}_{P}^{p,q}$. Il en résulte un homomorphisme, noté $f^{*}$, de $f^{-1}\mathscr{F}^{p,q}_{P^{\prime}}$ dans $\mathscr{F}^{p,q}_{P}$.