Les faisceaux $\mathscr{A}_{X}^{p,q}$ sont des $\mathscr{A}_{X}$-modules.

Ils sont naturellement munis de différentielles $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\colon\mathscr{A}_{X}^{p,q}\rightarrow\mathscr{A}_{X}^{p+1,q}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\colon\mathscr{A}_{X}^{p,q}\rightarrow\mathscr{A}_{X}^{p,q+1}$, caractérisées par les relations

$$\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}f^{*}\alpha=f^{*}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha,\quad\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}f^{*}\alpha=f^{*}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha,$$

pour toute carte tropicale $(f\colon U\rightarrow T,P)$ et toute forme $\alpha$ de type $(p,q)$ sur $P$.

Leur somme directe $\mathscr{A}_{X}^{*,*}=\bigoplus_{p,q}\mathscr{A}_{X}^{p,q}$ est un faisceau en algèbres bigraduées commutatives ; si $\omega$ est de type $(p,q)$ et $\omega^{\prime}$ de type $(p^{\prime},q^{\prime})$, alors

$$\omega^{\prime}\wedge\omega=(-1)^{(p+p^{\prime})(q+q^{\prime})}\omega\wedge\omega^{\prime}.$$

Elle est aussi munie d’une involution $\mathrm{J}$ caractérisée par la condition $\mathrm{J}f^{*}\alpha=f^{*}\mathrm{J}\alpha$ pour toute carte comme ci-dessus. Les différentielles vérifient la règle de Leibniz : si $\omega$ et $\omega^{\prime}$ sont respectivement de type $(p,q)$ et $(p^{\prime},q^{\prime})$, on a

$$\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}(\omega\wedge\omega^{\prime})=\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega\wedge\omega^{\prime}+(-1)^{p+q}\omega\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega^{\prime},$$

et de même pour $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}(\omega\wedge\omega^{\prime})$.