Par multilinéarité, il suffit de traiter le cas où les $\bar{L}_{j}$ sont globalement psh-approchables. Pour tout $i$, la métrique de $\bar{L}_{i}$ est alors limite uniforme d’une suite $(\bar{L}_{i,m})$ de métriques lisses psh sur $L_{i}$. Par construction, $\operatorname{MA}(c_{1}(\bar{L}_{1}),\dots,c_{1}(\bar{L}_{n}))$ est la limite des mesures positives

$$c_{1}(\bar{L}_{1,m})\wedge\dots\wedge c_{1}(\bar{L}_{n,m}),$$

sur $X^{\mathrm{an}}$, lorsque $m\rightarrow\infty$. D’après la proposition 6.4.3, chacune de ces mesures est de masse

$$(c_{1}(L_{1})\dots c_{1}(L_{n})\cap[X]),$$

d’où le corollaire puisque $X^{\mathrm{an}}$ est compact. ∎