Lorsqu’on change l’orientation $o$ en l’orientation opposée, l’intégrale d’une forme (par rapport à $(o,\lambda)$) est transformée en son opposée. De même, lorsqu’on change le $n$-vecteur $\lambda$ en le multiple $a\lambda$, l’intégrale d’une forme est multipliée par $a$.

En particulier, la notion d’intégrabilité et l’intégrale ne sont pas modifiées si l’on change simultanément l’orientation $o$ en l’orientation opposée et le $n$-vecteur $\lambda$ en son opposé $-\lambda$. Ces notions ne dépendent donc que de la classe $\mu$ du couple $(o,\lambda)$ dans le produit contracté $\operatorname{Or}(\overrightarrow{W})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ de l’ensemble des orientations sur $\overrightarrow{W}$ et de l’espace des $n$-vecteurs sur $\overrightarrow{V}$, munis des actions naturelles de $\{-1,1\}$.

On notera ainsi $\int_{U\cap W}\langle\omega,\mu\rangle$ et $\int_{U\cap W}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle$ ce qui était noté $\int_{U\cap W}\langle\omega,\lambda\rangle$ et $\int_{U\cap W}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\lambda}\mathclose{|}\rangle$.

On peut penser aux symboles $\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ et $\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}$ comme représentant « $\omega$ et $\mu$ au signe près ».