4.5.7 [01SG]

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4.5.7

On déduit alors de la définition des intégrales que pour toute $(n,n)$ -forme mesurable $\omega$ sur $X$ à support fortement paracompact dans $X$ , on a $\int_{Y}\mathopen{|}{\pi^{*}\omega}\mathclose{|}=(\mathsf{n}/\mathsf{m})\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ , et $\int_{Y}\ \pi^{*}\omega=(\mathsf{n}/\mathsf{m})\int_{X}\omega$ dans le cas intégrable.

De même, si $\omega$ est une $(n-1,n)$ -forme mesurable $\omega$ sur $X$ à support fortement paracompact dans $X$ , on a $\int_{\partial Y}\mathopen{|}{\pi^{*}\omega}\mathclose{|}=(\mathsf{n}/\mathsf{m})\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ , et $\int_{\partial Y}\ \pi^{*}\omega=(\mathsf{n}/\mathsf{m})\int_{\partial X}\omega$ dans le cas intégrable.

Donnons maintenant quelques exemples.

\exemname 4.5.8.

Le degré intégral de $Y$ au-dessus de $X$ est nul si et seulement si $\dim Y<n$ .

\exemname 4.5.9.

Si $X$ est réduit, $\pi_{*}\mathscr{O}_{Y}$ est génériquement libre sur $X$ , et le degré intégral de $Y$ sur $X$ est simplement le rang correspondant. En particulier, si $Y\to X$ est plat son degré intégral est égal à son degré.

\exemname 4.5.10.

Supposons que $Y=X_{\text{red}}$ et soit $\mathsf{m}$ la multiplicité générique de $X$ ; le degré intégral de $Y=X_{\text{red}}$ sur $X$ est alors égal à $1/\mathsf{m}$ . Ainsi si $X=\mathscr{M}(k[\epsilon])$ avec $\epsilon^{N}=0$ et $\epsilon^{N-1}\neq 0$ pour un certain $N\geq 1$ , on a $Y=\mathscr{M}(k)$ , et le degré intégral de $Y$ sur $X$ est égal à $1/N$ .

Remarquons que le degré intégral de $Y$ sur $X$ est encore égal à $1/\mathsf{m}$ si l’on suppose simplement que $Y$ s’identifie génériquement avec $X_{\text{red}}$ . C’est par exemple le cas lorsque $Y$ est le normalisé de $X$ ([29], définition 5.10).