Soit $X$ un espace $k$-analytique. On appelle carte tropicale sur $X$ la donnée d’un moment $f\colon X\rightarrow T$ sur $X$ et d’un polytope compact $P$ de $T_{\text{trop}}$ qui contient $f_{\text{trop}}(X)$. Les cartes tropicales sur $X$ forment une catégorie (essentiellement) petite, un morphisme d’une carte tropicale $(f\colon X\rightarrow T,P)$ dans une autre $(f^{\prime}\colon X\rightarrow T^{\prime},P^{\prime})$ étant un morphisme de tores $q\colon T\rightarrow T^{\prime}$ tel que $f^{\prime}=q\circ f$ et $q_{\text{trop}}(P)\subset P^{\prime}$.

Fixons une classe admissible $\mathscr{F}$ de fonctions numériques. Pour tout ouvert $U$ de $X$ et tout couple $(p,q)$ d’entiers naturels, notons $\mathscr{F}_{\text{pf}}^{p,q}(U)$ la limite inductive des espaces $\mathscr{F}^{p,q}_{P}(P)$, lorsque $(f\colon U\to T,P)$ parcourt l’ensemble des cartes tropicales sur $U$.

Lorsque $U$ parcourt l’ensemble des ouverts de $X$, les espaces $\mathscr{F}_{\text{pf}}^{p,q}(U)$ définissent un préfaisceau sur $X$  ; le faisceau associé $\mathscr{F}_{X}^{p,q}$, est appelé le faisceau des formes de type $(p,q)$ sur $X$ à coefficients dans $\mathscr{F}$  ; lorsque $\mathscr{F}=\mathscr{A}$, on parle de forme lisse.

Soit $U$ un ouvert de $X$ et soit $(f\colon U\to T,P)$ une carte tropicale sur $U$. Toute forme $\alpha$ appartenant à $\mathscr{F}^{p,q}_{P}(P)$ définit un élément de $\mathscr{F}^{p,q}_{\text{pf}}(U)$, puis une forme appartenant à $\mathscr{F}^{p,q}_{X}(U)$  ; celle-ci sera notée $f^{*}\alpha$.

Supposons que $\dim(X)<\max(p,q)$. Le faisceau $\mathscr{F}_{X}^{p,q}$ est alors nul. En effet, soit $U$ un ouvert de $X$, soit $(f\colon U\to T,P)$ une carte tropicale sur $U$, et soit $\alpha$ une forme de type $(p,q)$ sur $P$ à coefficients dans $\mathscr{F}$. Nous allons montrer que $f^{*}\alpha$ est nulle au voisinage de tout point de $U$, ce qui suffira à conclure.

Soit $x\in U$ et soit $V$ un voisinage analytique compact de $x$ dans $U$. La carte tropicale $(f|_{\mathring{V}}\colon\mathring{V}\to T,P)$ se factorise par $(f|_{\mathring{V}}\colon\mathring{V}\to T,f_{\text{trop}}(V))$.

Par conséquent, $f^{*}\alpha|_{\mathring{V}}=(f|_{\mathring{V}})^{*}(\alpha|_{f_{\text{trop}}(V)})$.

La dimension de $f_{\text{trop}}(V)$ est majorée par celle de $X$, et est donc strictement inférieure à $\max(p,q)$. Par conséquent, $\mathscr{F}^{p,q}_{f_{\text{trop}}(V)}=0$  ; dès lors, $\alpha|_{f_{\text{trop}}(V)}=0$ et $f^{*}\alpha|_{\mathring{V}}=0$, ce qui achève la démonstration.

Le faisceau $\mathscr{A}_{X}:=\mathscr{A}^{0,0}_{X}$ est un faisceau en $\mathbf{R}$-algèbres de fonctions numériques sur $X$, que l’on appelle les fonctions lisses. Ses sections sur un ouvert $U$ sont les fonctions réelles sur $X$ qui s’écrivent localement sur $U$ sous la forme $\varphi(\log\mathopen{|}{f_{1}}\mathclose{|},\ldots,\log\mathopen{|}{f_{n}}\mathclose{|})$ où les $f_{i}$ sont des fonctions holomorphes inversibles et où $\varphi$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ définie sur un ouvert de $\mathbf{R}^{n}$ contenant l’image de l’application $(\log\mathopen{|}{f_{1}}\mathclose{|},\dots,\log\mathopen{|}{f_{n}}\mathclose{|})$.

Les faisceaux $\mathscr{A}_{X}^{p,q}$ sont des $\mathscr{A}_{X}$-modules.

Ils sont naturellement munis de différentielles $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\colon\mathscr{A}_{X}^{p,q}\rightarrow\mathscr{A}_{X}^{p+1,q}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\colon\mathscr{A}_{X}^{p,q}\rightarrow\mathscr{A}_{X}^{p,q+1}$, caractérisées par les relations

$$\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}f^{*}\alpha=f^{*}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha,\quad\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}f^{*}\alpha=f^{*}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha,$$

pour toute carte tropicale $(f\colon U\rightarrow T,P)$ et toute forme $\alpha$ de type $(p,q)$ sur $P$.

Leur somme directe $\mathscr{A}_{X}^{*,*}=\bigoplus_{p,q}\mathscr{A}_{X}^{p,q}$ est un faisceau en algèbres bigraduées commutatives ; si $\omega$ est de type $(p,q)$ et $\omega^{\prime}$ de type $(p^{\prime},q^{\prime})$, alors

$$\omega^{\prime}\wedge\omega=(-1)^{(p+p^{\prime})(q+q^{\prime})}\omega\wedge\omega^{\prime}.$$

Elle est aussi munie d’une involution $\mathrm{J}$ caractérisée par la condition $\mathrm{J}f^{*}\alpha=f^{*}\mathrm{J}\alpha$ pour toute carte comme ci-dessus. Les différentielles vérifient la règle de Leibniz : si $\omega$ et $\omega^{\prime}$ sont respectivement de type $(p,q)$ et $(p^{\prime},q^{\prime})$, on a

$$\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}(\omega\wedge\omega^{\prime})=\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega\wedge\omega^{\prime}+(-1)^{p+q}\omega\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega^{\prime},$$

et de même pour $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}(\omega\wedge\omega^{\prime})$.

La somme directe $\mathscr{F}_{X}^{*,*}=\bigoplus_{p,q}\mathscr{F}_{X}^{p,q}$ est faisceau en $\mathscr{A}_{X}$-modules bigradués, auquel l’involution $J$ se prolonge.

Si $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, le faisceau $\mathscr{F}_{X}$ est un faisceau de $\mathbf{R}$-algèbres, et $\mathscr{F}^{*,*}$ est une $\mathscr{F}_{X}$-algèbre bigraduée, et $J$ est un automorphisme de $\mathscr{F}_{X}$-algèbre.

Lorsque $\mathscr{F}$ est la classe des fonctions mesurables (resp. localement intégrables, resp. $\mathscr{C}^{m}$ pour un certain $m\geq 1$, resp. localement $L^{p}$ pour un certain $p$), on dira que $\mathscr{F}_{X}^{*,*}$ est le faisceau des formes à coefficients mesurables (resp. localement intégrables, resp. $\mathscr{C}^{m}$, resp. localement $L^{p}$) sur $X$.

Mais si $\mathscr{F}$ est la classe des fonctions continues, on dira que $\mathscr{F}_{X}^{*,*}$ est le faisceau des formes à coefficients tropicalement continus sur $X$.

On doit introduire l’adverbe tropicalement pour éviter la confusion avec la notion de fonction continue sur un espace de Berkovich : bien entendu, toute fonction tropicalement continue sur un espace de Berkovich est continue, mais la réciproque est fausse. En effet, comme la valeur absolue d’une fonction inversible est constante au voisinage de tout point rigide, il en est de même de toute fonction tropicalement continue. En revanche, l’exemple de l’application $x\mapsto\mathopen{|}{T(x)}\mathclose{|}$ sur $\mathbf{A}^{1}$ montre qu’il existe des fonctions continues qui ne sont pas localement constantes au voisinage d’un point rigide.

Cette construction est fonctorielle. Plus précisément, si $f\colon Y\to X$ est un morphisme d’espaces $k$-analytiques, on dispose d’une application naturelle $f^{*}\colon f^{-1}(\mathscr{A}^{*,*}_{X})\to\mathscr{A}^{*,*}_{Y}$ qui est un morphisme d’anneaux gradués, commute aux dérivations $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ ainsi qu’à l’involution $\mathrm{J}$.

On dispose également d’une application naturelle $f^{*}\colon f^{-1}(\mathscr{F}^{*,*}_{X})\to\mathscr{F}^{*,*}_{Y}$ qui est un morphisme de $\mathscr{A}_{Y}$-modules gradués, et de $\mathscr{F}_{Y}$-algèbres graduées si $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, et qui commute à l’involution $\mathrm{J}$.

Si $Y$ est un domaine analytique ou un fermé de Zariski de $X$ et si $\alpha\in\mathscr{A}^{p,q}_{X}(X)$ on se permettra de noter $\alpha|_{Y}$ l’image de $\alpha$ dans $\mathscr{A}^{p,q}_{Y}(Y)$.

Soit $\omega$ une forme de type $(p,q)$ et à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur $X$ et soit $V$ un domaine analytique de $X$.

Une présentation de $\omega|_{V}$ est la donnée d’une carte tropicale $(f\colon V\rightarrow T,P)$ et d’une forme $\alpha\in\mathscr{F}^{p,q}_{P}(P)$ telle que $\omega|_{V}=f^{*}\alpha$. On dira que $\omega|_{V}$ est tropicale si elle admet une présentation  ; lorsque c’est le cas, nous dirons aussi que $V$ tropicalise $\omega$.

Supposons que $V$ soit compact et tropicalise $\omega$, et soit $(f\colon V\to T,P,\alpha)$ une présentation de $\omega|_{V}$. Comme $f_{\text{trop}}(V)$ est un polytope, $(f\colon V\to T,f_{\text{trop}}(V),\alpha|_{f_{\text{trop}}(V)})$ est encore une présentation de $\omega|_{V}$  ; une telle présentation sera simplement notée $(f\colon V\to T,\alpha)$ : l’omission du polytope signifie qu’il est égal à $f_{\text{trop}}(V)$.

Supposons que $X$ soit bon. Par définition du faisceau des $(p,q)$-formes, tout point de $X$ possède un voisinage affinoïde qui tropicalise $\omega$.