Par définition, tout point de $X$ possède un voisinage ouvert $U$ tel que la restriction à $U$ de $\omega$ fournisse l’objet nul de la limite inductive $\mathscr{F}_{\text{pf}}^{p,q}(U)$. Il existe en conséquence, par compacité de $X$, une famille finie $(f_{i}\colon U_{i}\rightarrow T_{i},q_{i}\colon T_{i}\rightarrow T,P_{i})$, où les $U_{i}$ sont des ouverts qui recouvrent $X$, où $(f_{i}\colon U_{i}\rightarrow T_{i},P_{i})$ est pour tout $i$ une carte tropicale sur $U_{i}$, et où $q_{i}$ est pour tout $i$ un morphisme affine de tores de $T_{i}$ vers $T$ tel que $q_{i,{\text{trop}}}(P_{i})\subset f_{\text{trop}}(X)$ et $(q_{i,{\text{trop}}}|_{P_{i}})^{*}\alpha=0$.

Comme les $U_{i}$ recouvrent $X$, le polytope $f_{\text{trop}}(X)$ est la réunion des images par les $q_{i,{\text{trop}}}$ des sous-espaces linéaires par morceaux $P_{i}$. Il existe donc une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{\text{trop}}(X)$ et, pour tout $i$, une décomposition cellulaire $\mathscr{D}_{i}$ de $P_{i}$, telles que toute cellule de $\mathscr{C}$ soit l’image pour un certain $i$, d’une cellule de $\mathscr{D}_{i}$ par $q_{i,{\text{trop}}}$.

Soit $Q\in\mathscr{C}$. Choisissons $i$ et une cellule $Q^{\prime}\in\mathscr{D}_{i}$ telle que $q_{i,{\text{trop}}}(Q^{\prime})=Q$. L’application $q_{i,{\text{trop}}}$ induit alors une surjection affine de $\langle Q^{\prime}\rangle$ sur $\langle Q\rangle$, et la restriction de $q_{i,{\text{trop}}}^{*}\alpha$ au vosinage de $Q^{\prime}$ dans $\langle Q^{\prime}\rangle$ est nulle car $(q_{i,{\text{trop}}}|_{P_{i}})^{*}\alpha=0$. Par suite, la restriction au voisinage de $Q$ dans $\langle Q\rangle$ de la forme $\alpha$ est nulle.

Il en résulte que $\alpha=0$, ce qu’il fallait démontrer. ∎

Soit $x$ un point de $X$. Soit $Q$ un voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ dans $f_{\text{trop}}(X)$ qui est un polytope compact. Le domaine analytique $W=f_{\text{trop}}^{-1}(Q)$ de $X$ est un voisinage de $x$ et $\omega|_{W}=(f|_{W})^{*}(\alpha|_{Q})$.

Supposons que $x$ appartienne à $K$. Le compact $K$ rencontre alors l’intérieur de $W$, ce qui entraîne que $\omega|_{W}\neq 0$, et donc que $\alpha|_{Q}\neq 0$. Il s’ensuit que $H$ rencontre $Q$. Comme $Q$ peut être choisi arbitrairement petit, $f_{\text{trop}}(x)$ appartient à $H$, d’où l’inclusion $f_{\text{trop}}(K)\subset H$.

Inversement, supposons que $f_{\text{trop}}(x)\in H$. Par définition de $H$, la restriction à $Q$ de la forme $\alpha$ est non nulle. Il s’ensuit d’après le lemme, que la restriction de $\omega$ à $f_{\text{trop}}^{-1}(Q)$ est non nulle. Par conséquent, $f_{\text{trop}}^{-1}(Q)$ rencontre $K$, et $Q=f_{\text{trop}}(f_{\text{trop}}^{-1}(Q))$ rencontre $f_{\text{trop}}(K)$. Comme $Q$ est un voisinage arbitrairement petit de $f_{\text{trop}}(x)$, celui-ci est adhérent à $f_{\text{trop}}(K)$. Puisque $f_{\text{trop}}(K)$ est compact, $f_{\text{trop}}(x)$ appartient à $f_{\text{trop}}(K)$. ∎

On peut raisonner localement, ce qui ramène le problème au cas où $X$ est compact, où $\omega$ est tropicale, et où $(X_{i})$ est un recouvrement fini de $X$ par des domaines analytiques compacts.

Soit $(f\colon X\to T,\alpha)$ une présentation de $\omega$. En vertu du lemme 3.2.2, la restriction de $\alpha$ à $f_{\text{trop}}(X_{i})$ est nulle pour tout $i$.

Comme $f_{\text{trop}}(X)=\bigcup f_{\text{trop}}(X_{i})$, il vient $\alpha=0$, et donc $\omega=0$.

∎

Soit $V$ un voisinage analytique compact tel que $\dim(f_{\text{trop}}(V))$ soit égal à la dimension tropicale $d$ de $f$ en $x$, et tel que $V$ tropicalise $\omega$.

Choisissons une présentation $(f\colon V\rightarrow T,\alpha)$ de $\omega$. On a $d\leq d_{k}(x)<\max(p,q)$. Par conséquent, $\mathscr{F}_{f_{\text{trop}}(V)}^{p,q}=0$ et $\alpha=0$. ∎

Posons $x=f(y)$. Quitte à remplacer $X$ par un domaine affinoïde $X^{\prime}$ de $X$ contenant $X$, et $Y$ par un domaine affinoïde de $f^{-1}(X^{\prime})$ contenant $y$, on peut supposer que $X$ et $Y$ sont affinoïdes.

Soit $r$ la dimension de $f$ en $y$. D’après le théorème 4.6 de [28], la flèche $Y\to X$ se factorise par un morphisme $Y\to\mathbf{A}^{r}_{X}$ de dimension relative nulle en $y$.

En vertu de la variante analytique du Main Theorem de Zariski (th. 3.2 de [28]), il existe un voisinage affinoïde $V$ de $y$ dans $Y$, un morphisme étale $T\to\mathbf{A}^{r}_{X}$, et un domaine affinoïde $W$ de $T$ tels que $Y\to\mathbf{A}^{r}_{X}$ se factorise par un morphisme fini $V\to W$.

Comme $X$ est purement de dimension $d$, il résulte du lemme 2.3.3 de [30] que $T$ est purement de dimension $d+r$. Il en est donc de même de son domaine analytique $W$. De ce fait, la dimension de $V$ est inférieure ou égale à $d+r$. En tant que domaine affinoïde de $Y$, l’espace $V$ est purement de dimension $n$  ; on a donc $n\leq d+r$.

Par ailleurs, par définition de $r$ il existe une composante irréductible $Z$ de $f^{-1}(X)$ contenant $y$ et de dimension $r$. Celle-ci possède un point $z$ tel que $d_{{\mathscr{H}}(f(x))}(z)=r$  ; comme $d_{k}(x)=d$, on a $d_{k}(z)=r+d$.

En conséquence, $d+r\leq n$, d’où finalement l’égalité $d+r=n$. ∎

Quitte à remplacer $X$ par un voisinage ouvert d’un point de $K$, il suffit de prouver que $K$ contient un tel point $x$. On peut aussi supposer que $\omega$ est tropicale. Soit donc $(f\colon X\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N},P,\alpha)$ une présentation de $\omega$.

Soit $x$ un point de $K$ et soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$ possédant la propriété suivante : pour tout voisinage affinoïde $W$ de $x$ dans $V$, le compact $f_{\text{trop}}(W)$ est un voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ dans $f_{\text{trop}}(V)$  ; l’existence d’un tel $V$ découle de 2.3.3.

Fixons un voisinage affinoïde $W$ de $x$ dans ${\rm Int}\;(V/X)$. Comme $V$ est un voisinage de $x$ dans $X$ et comme $x$ appartient au support de $\omega$, la restriction à $V$ de $\omega$ n’est pas nulle. Par suite, $f_{\text{trop}}(x)$ appartient au support de $\alpha|_{f_{\text{trop}}(V)}$ (corollaire 3.2.3).

Fixons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{\text{trop}}(W)$, et soit $Q$ la réunion des cellules maximales de $\mathscr{C}$ qui contiennent $f_{\text{trop}}(x)$. Comme $f_{\text{trop}}(W)$ est un voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ dans $f_{\text{trop}}(V)$, le polytope $Q$ est lui-même un voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ dans $f_{\text{trop}}(V)$.

Il s’ensuit que $\alpha|_{Q}\neq 0$  ; par conséquent, il existe une cellule maximale $C$ de $\mathscr{C}$ (contenue dans $Q$), dont on note $d$ la dimension, telle que $\alpha|_{C}\neq 0$  ; la forme $\alpha$ étant à coefficients continus, il existe un ouvert $C_{1}$ de $C$, contenu dans son intérieur, tel que $\alpha|_{C_{1}}\neq 0$  ; notons que $C_{1}$ est ouvert dans $f_{\text{trop}}(V)$.

L’espace $V^{\prime}=(f_{\text{trop}})|_{V}^{-1}(C_{1})\cap{\rm Int}\;V$ est un ouvert de $X$.

Soit $p\colon\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N}\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{d}$ un morphisme affine de tores tel que $p_{\text{trop}}$ soit injectif sur $\langle C\rangle$, de sorte que $C^{\prime}=p_{\text{trop}}(C_{1})$ est un ouvert non vide de $\mathbf{G}_{\mathrm{m},{\text{trop}}}^{d}$. Il existe une forme $\alpha^{\prime}$ sur $C^{\prime}$ telle que $\alpha|_{C_{1}}=p^{*}\alpha^{\prime}$. Posons $f^{\prime}=p\circ f$ ; on a $\omega|_{V^{\prime}}=(f^{\prime})^{*}\alpha^{\prime}$. Écrivons $\alpha^{\prime}=\sum\alpha^{\prime}_{IJ}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$, où $I$ et $J$ parcourent les multiindices de $\{1,\dots,d\}$ de longueurs $p$ et $q$ respectivement. Quitte à restreindre $C_{1}$, $C^{\prime}$ et donc $V^{\prime}$, on peut aussi supposer que l’une des fonctions continues $\alpha^{\prime}_{IJ}$ ne s’annule pas sur $C^{\prime}$.

Fixons une cellule compacte $C_{2}$ non vide, de dimension $d$ et contenu dans $C_{1}$. Comme $f^{\prime}_{\text{trop}}(W)\supset C_{1}$, le domaine analytique compact $f_{\text{trop}}^{-1}(C_{2})\cap W$ est non vide, et il est contenu dans $V^{\prime}$ puisque $W\subset{\rm Int}\;V$. Son image par $f_{\text{trop}}$ est égale à $C_{2}$, et son image par $f^{\prime}_{\text{trop}}$ est en conséquence un polytope compact et de dimension $d$ de $C^{\prime}$. Il existe donc $y\in f_{\text{trop}}^{-1}(C_{2})\cap W$ en lequel la dimension tropicale de $f^{\prime}|_{f_{\text{trop}}^{-1}(C_{2})\cap W}$ est égale à $d$  ; la dimension tropicale de $f^{\prime}$ en $y$ est a fortiori égale à $d$, ce qui signifie que $f^{\prime}(y)$ appartient à la partie $C^{\prime}_{\mathrm{sq}}$ du squelette de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{d}$ (2.3.3).

En vertu du lemme 3.2.6 ci-dessus, la fibre $(f^{\prime})|_{V^{\prime}}^{-1}(f^{\prime}(y))$ est purement de dimension $n-d$. Il existe donc un point $z$ de cette fibre tel que $d_{{\mathscr{H}}(y)}(z)=n-d$. Comme $d_{k}(f^{\prime}(y))=d$, il vient $d_{k}(z)=n$.

Comme $f^{\prime}(z)=f^{\prime}(y)$ appartient à ${\bf S}(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{d})$ et comme $f^{\prime}|_{V^{\prime}}$ est sans bord puisque $V^{\prime}$ est un ouvert de l’espace sans bord $X$, il résulte de 2.3.3 que pour tout voisinage affinoïde $U$ de $z$ dans $V^{\prime}$, le compact $f^{\prime}_{\text{trop}}(U)$ contient un voisinage de $f^{\prime}_{\text{trop}}(z)$ dans $(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{d})_{\text{trop}}$. Comme il est par ailleurs contenu dans $C^{\prime}$ par définition de $V^{\prime}$, il contient un ouvert de $C^{\prime}$, sur lequel $\alpha$ est non nulle.

Il s’ensuit, d’après le lemme 3.2.2, que $\omega|_{U}$ est non nulle. Ceci valant pour tout $U$, le point $z$ appartient au support de $\omega$, ce qui achève la démonstration. ∎

D’après la proposition 3.2.7, il existe un point $x$ du support de $\alpha$ tel que $d_{k}(x)=n$. Soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$ et $f\colon V\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N}$ un moment qui tropicalise la forme $\alpha$ tel que $f_{\text{trop}}(V)$ soit purement de dimension $n$. Soit $\eta$ une forme lisse sur $f_{\text{trop}}(V)$ telle que $\alpha=f^{*}\eta$ ; elle n’est pas nulle.

L’image $f_{\text{trop}}(\partial(V))$ est un sous-espace linéaire par morceaux de dimension $\leq n-1$. Il existe donc un ouvert $Q$ d’une cellule ouverte maximale qui ne rencontre pas $f_{\text{trop}}(\partial(V))$ tel que $\eta|_{Q}\neq 0$. Comme $\dim(Q)=n$, on peut trouver une $(n-p,n-q)$-forme lisse à support compact contenu dans $Q$ telle que $\eta\wedge\eta^{\prime}\neq 0$. Puisque son support ne rencontre pas $\partial(V)$, la forme $f^{*}\eta^{\prime}$ sur $V$ se prolonge (par zéro) en une forme lisse $\beta$ à support propre sur $X$. La restriction à $V$ de $\alpha\wedge\beta$ est égal à $f^{*}(\eta\wedge\eta^{\prime})$, donc n’est pas nulle (lemme 3.2.2). ∎

Quitte à remplacer $X$ par un voisinage paracompact $X^{\prime}$ du support de $\omega$, et $U$ par son intersection avec $X^{\prime}$, on peut supposer que $X$ est paracompact. En raisonnant composante connexe par composante connexe, on peut le supposer connexe, et partant dénombrable à l’infini.

Il existe alors un G-recouvrement $(X_{i})$ localement fini et dénombrable de $X$ par des domaines affinoïdes qui tropicalisent $\omega$.

Pour chaque $i$, la forme $\omega|_{X_{i}}$ admet une présentation $(f_{i}\colon X_{i}\to T_{i},\alpha_{i})$.

Fixons $i$, et appelons $\Sigma_{i}$ le sous-ensemble de $X_{i}$ formé des points en lesquels la dimension tropicale de $f_{i}$ est égale à $n$. Comme le bidegré de $\omega$ est égal à $(n,p)$ ou $(p,n)$, le support de $\omega|_{X_{i}}$ est contenu dans $\Sigma_{i}$. Il en résulte, d’après le corollaire 3.2.4, que $\Sigma:=\bigcup\Sigma_{i}$ contient le support de $\omega$.

Choisissons un isomorphisme $T_{i}\simeq\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N_{i}}$. Pour toute partie $J$ de $\{1,\ldots,N_{i}\}$ de cardinal $N$, notons $f_{i,J}$ le morphisme de $T$ vers $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{J}$ composé de $f_{i}$ et de la projection naturelle $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N_{i}}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{J}$. La dimension tropicale de $f_{i}$ en un point $x$ de $X$ est alors égale à $n$ si et seulement si il existe $J$ tel que $f_{i,J}$ soit de dimension tropicale $n$ en $x$.

Autrement dit, $\Sigma_{i}$ est la réunion des $f_{i,J}^{-1}(S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{J}))$. On peut donc écrire $\Sigma_{i}$ comme une réunion finie $\bigcup\mathscr{K}_{ij}$ où chaque $\mathscr{K}_{ij}$ est un compact homéomorphe à un polytope (2.3.4).

L’intersection de $U$ avec chacun des $\mathscr{K}_{ij}$ est homéomorphe à un ouvert d’un polytope et est donc dénombrable à l’infini.

Par conséquent, l’intersection de $U$ avec $\Sigma_{i}$ est dénombrable à l’infini  ; comme l’ensemble d’indice $i$ est dénombrable, l’intersection de $U$ avec $\Sigma$ s’écrit comme une réunion dénombrable $\bigcup_{m}\Theta_{m}$ de compacts.

Le lemme 2.1.6 assure que chaque $\Theta_{m}$ possède dans $U$ un voisinage ouvert $U_{m}$ dénombrable à l’infini.

La réunion $V$ des $U_{m}$ est un voisinage ouvert et dénombrable à l’infini de $\Sigma$ dans $U$  ; comme $\Sigma$ contient le support de $\omega$, l’ouvert $V$ de $X$ est un voisinage paracompact du support de $\omega|_{U}$.

∎