On note $\mathrm{J}$ l’involution de l’algèbre $\mathscr{A}_{V}^{*,*}(U)$ qui induit l’isomorphisme identique de $\mathscr{A}_{V}^{1,0}(U)=\mathscr{A}_{V}(U)\otimes_{\mathbf{R}}V^{*}$ sur $\mathscr{A}_{V}^{0,1}(U)=\mathscr{A}_{V}(U)\otimes_{\mathbf{R}}V^{*}$. Elle induit une involution, encore notée $J$, du $\mathscr{A}_{V}(U)$-module gradué $\mathscr{F}_{V}^{*,*}(U)$, qui est un automorphisme de $\mathscr{F}_{V}(U)$-algèbre lorsque $\mathscr{F}$ est stable par multiplication.

En coordonnées, on a

$$\mathrm{J}\omega=\sum_{I,J}\omega_{I,J}(x)\,\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{J}=(-1)^{pq}\sum_{I,J}\omega_{I,J}(x)\,\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{J}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{I}.$$

Lorsque $p=q$, on dit qu’une forme $\omega$ de type $(p,p)$ est symétrique si elle vérifie $\mathrm{J}\omega=(-1)^{p}\omega$ ; cela revient donc à exiger que $\omega_{I,J}=\omega_{J,I}$ pour tout couple $(I,J)$.