Il faut prouver la continuité de $S$. Soit $(\omega_{n})$ une suite de formes lisses qui converge vers $\omega$ et prouvons que $\langle S,\omega_{n}\rangle$ converge vers $\langle S,\omega\rangle$.

Soit $(U_{i})$ un recouvrement fini de $\operatorname{supp}(\omega)$ par des affinoïdes de $X$ sur lequel les $\omega_{n}$ et $\omega$ soient tropicales. Pour tout $i$, soit $f_{i}\colon U_{i}\rightarrow T_{i}$ un moment, notons $P_{i}=(f_{i})_{\text{trop}}(U_{i})$, et soit $\alpha_{i}$ (resp. $\alpha_{i,n}$ pour $n\geq 0$) une forme sur $P_{i}$ telle que $\omega|_{U_{i}}=f_{i}^{*}\alpha_{i}$ (resp. $\omega_{n}|_{U_{i}}=f_{i}^{*}\alpha_{i,n}$. Pour tout $i$, soit $\lambda_{i}$ une fonction lisse sur $X$ dont le support est compact et contenu dans $\operatorname{Int}(U_{i})$, à valeurs dans $[0,1]$, telle que $\sum\lambda_{i}$ soit identiquement égale à $1$ dans un voisinage de $\operatorname{supp}(\omega)$. On a alors

$$\langle S,\omega\rangle=\sum_{i}\langle S,\lambda_{i}\omega\rangle\quad\text{et}\quad\langle S,\omega_{n}\rangle=\sum_{i}\langle S,\lambda_{i}\omega_{n}\rangle$$

Pour tout $i$, il existe un affinoïde $V_{i}$ contenu dans l’intérieur de $U_{i}$, contenant le support de $\lambda_{i}\omega_{n}$ et tropicalisant cette forme. Notons $Q_{i}=(f_{i})_{{\text{trop}}}(V_{i})$. Par hypothèse, les coefficients de $\alpha_{i,n}$ convergent uniformément vers ceux de $\alpha_{i}$ sur chaque face de $Q_{i}$ Soit $\beta_{i}$ une forme lisse strictement positive sur $Q_{i}$ Pour tout $n$, il existe un nombre réel $\varepsilon_{n}$ tel que $-\varepsilon_{n}\beta_{i}\leq(\alpha_{i,n}-\alpha_{i})\leq\varepsilon_{n}\beta_{i}$ pour tout $i$, et on peut le choisir de sorte que la suite $(\varepsilon_{n})$ tende vers $0$. Cela entraîne que

$$\left|{\langle S,\lambda_{i}(\omega_{n}-\omega)\rangle}\right|\leq\varepsilon_{n}\left|{\langle S,\lambda_{i}\beta_{i}\rangle}\right|$$

donc $\langle S,\lambda_{i}\omega_{n}\rangle$ tend vers $\langle S,\lambda_{i}\omega\rangle$. Finalement, $\langle S,\omega_{n}\rangle$ tend vers $\langle S,\omega\rangle$, ainsi qu’il fallait démontrer. ∎