Soit $\omega$ une forme lisse de type $(p,p)$ sur un ouvert $U$ d’un espace affine $V$. Soit $V^{\prime}$ un sous-espace affine de $V$ et soit $U^{\prime}=U\cap V^{\prime}$. Si $\omega$ est positive (resp. faiblement positive, resp. fortement positive) sur $U$, il en est de même de sa restriction à $U^{\prime}$.

Comme toute forme sur $U^{\prime}$ est la restriction d’une forme sur $U$, c’est évident dans le cas d’une forme fortement positive. Traitons les deux autres cas.

Soit $(x_{1},\dots,x_{n})$ une base de $\overrightarrow{V}^{*}$ telle que les restrictions $(x^{\prime}_{1},\dots,x^{\prime}_{m})$ de $(x_{1},\dots,x_{m})$ à $\overrightarrow{V}^{\prime}$ soient linéairement indépendantes. Supposons $\omega$ positive et montrons que $\omega^{\prime}=\omega|_{U^{\prime}}$ l’est encore. Soit $\alpha^{\prime}$ une forme de type $(m-p,0)$ sur $U^{\prime}$ et soit $\alpha$ une forme de type $(m-p,0)$ sur $U$ dont la restriction à $U^{\prime}$ est égale à $\alpha^{\prime}$. On peut donc écrire

$$(-1)^{(m-p)(m-p-1)/2}\omega^{\prime}\wedge\alpha^{\prime}\wedge\mathrm{J}(\alpha^{\prime})=f^{\prime}\,\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x^{\prime}_{1}\wedge\dots\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x^{\prime}_{1}\wedge\dots\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x^{\prime}_{m}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x^{\prime}_{m},$$

où $f^{\prime}$ est une fonction lisse sur $U^{\prime}$. Par suite, la décomposition de la forme

$$\omega\wedge\alpha\wedge\mathrm{J}(\alpha)=\sum_{\mathopen{|}{I}\mathclose{|},\mathopen{|}{J}\mathclose{|}=m}f_{IJ},\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\dots\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J},$$

on a $f_{II}|_{U^{\prime}}=f^{\prime}$ si $I=(1,\dots,m)$. Posons alors $\beta=\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{m+1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}$. On constate que

$$(-1)^{(n-p)(n-p-1)/2}\omega\wedge\alpha\wedge\beta\wedge\mathrm{J}(\alpha)\wedge\mathrm{J}(\beta)=f_{II}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n}.$$

Comme $\omega$ est positive, $f_{II}$ est positive ou nulle sur $U$ ; par suite, $f^{\prime}$ est positive ou nulle sur $U^{\prime}$, ce qui démontre que $\omega^{\prime}$ est positive.

Lorsque $\omega$ est faiblement positive, le même argument prouve que $\omega^{\prime}$ est faiblement positive ; il suffit de remarquer qu’une forme $\alpha^{\prime}$ qui est le produit de $p$ formes de type $(1,0)$ sur $U^{\prime}$ est la restriction à $U^{\prime}$ de produit de $p$ formes de type $(1,0)$ sur $U$.