Nous appelons fonction lisse sur $X$ une fonction sur $X$ à valeurs réelles qui s’écrit localement $\varphi(\log\mathopen{|}{f_{1}}\mathclose{|},\dots,\log\mathopen{|}{f_{r}}\mathclose{|})$, où $f_{1},\dots,f_{r}\in\mathscr{O}_{X}^{\times}$ sont des fonctions holomorphes inversibles sur $X$ et $\varphi$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $\mathbf{R}^{r}$ à valeurs réelles. Les fonctions lisses forment un sous-faisceau $\mathscr{A}_{X}$ du faisceau des fonctions continues sur $X$ à valeurs réelles. Si $X$ est bon et paracompact, par exemple si $X$ est l’analytifié d’une variété algébrique, ce faisceau est fin.

Plus généralement, si $p$ et $q$ sont deux entiers naturels, nous définissons une notion de forme différentielle lisse de type $(p,q)$ sur $X$, qui redonne la notion de fonction lisse pour $(p,q)=(0,0)$. Ce sont naturellement les sections de faisceaux $\mathscr{A}_{X}^{p,q}$ qui sont nuls si $p>\dim(X)$ ou $q>\dim(X)$. La somme directe de ces faisceaux est une algèbre bigraduée commutative ; elle est munie d’opérateurs différentiels $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ de degrés $(1,0)$ et $(0,1)$ et de carrés nuls.

Si $\dim(X)=n$, on peut intégrer les formes de type $(n,n)$, pourvu bien entendu qu’elles soient intégrables, ce qui est par exemple le cas si leur support est compact. Si $X$ est l’analytifié d’une variété propre, l’intégrale d’une forme sur $X$ de la forme $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ est nulle.

Plus généralement, Berkovich a introduit la notion de bord $\partial(X)$ de l’espace analytique $X$ et nous définissons aussi l’intégrale d’une forme de type $(n-1,n)$ sur ce bord. Ces définitions donnent lieu à l’analogue de la formule de Stokes :

$$\int_{X}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega=\int_{\partial(X)}\omega,$$

si $\omega$ est une forme à support compact de type $(n-1,n)$ sur $X$.