Quitte à remplacer $X$ par un voisinage paracompact $X^{\prime}$ du support de $\omega$, et $U$ par son intersection avec $X^{\prime}$, on peut supposer que $X$ est paracompact. En raisonnant composante connexe par composante connexe, on peut le supposer connexe, et partant dénombrable à l’infini.

Il existe alors un G-recouvrement $(X_{i})$ localement fini et dénombrable de $X$ par des domaines affinoïdes qui tropicalisent $\omega$.

Pour chaque $i$, la forme $\omega|_{X_{i}}$ admet une présentation $(f_{i}\colon X_{i}\to T_{i},\alpha_{i})$.

Fixons $i$, et appelons $\Sigma_{i}$ le sous-ensemble de $X_{i}$ formé des points en lesquels la dimension tropicale de $f_{i}$ est égale à $n$. Comme le bidegré de $\omega$ est égal à $(n,p)$ ou $(p,n)$, le support de $\omega|_{X_{i}}$ est contenu dans $\Sigma_{i}$. Il en résulte, d’après le corollaire 3.2.4, que $\Sigma:=\bigcup\Sigma_{i}$ contient le support de $\omega$.

Choisissons un isomorphisme $T_{i}\simeq\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N_{i}}$. Pour toute partie $J$ de $\{1,\ldots,N_{i}\}$ de cardinal $N$, notons $f_{i,J}$ le morphisme de $T$ vers $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{J}$ composé de $f_{i}$ et de la projection naturelle $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N_{i}}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{J}$. La dimension tropicale de $f_{i}$ en un point $x$ de $X$ est alors égale à $n$ si et seulement si il existe $J$ tel que $f_{i,J}$ soit de dimension tropicale $n$ en $x$.

Autrement dit, $\Sigma_{i}$ est la réunion des $f_{i,J}^{-1}(S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{J}))$. On peut donc écrire $\Sigma_{i}$ comme une réunion finie $\bigcup\mathscr{K}_{ij}$ où chaque $\mathscr{K}_{ij}$ est un compact homéomorphe à un polytope (2.3.4).

L’intersection de $U$ avec chacun des $\mathscr{K}_{ij}$ est homéomorphe à un ouvert d’un polytope et est donc dénombrable à l’infini.

Par conséquent, l’intersection de $U$ avec $\Sigma_{i}$ est dénombrable à l’infini  ; comme l’ensemble d’indice $i$ est dénombrable, l’intersection de $U$ avec $\Sigma$ s’écrit comme une réunion dénombrable $\bigcup_{m}\Theta_{m}$ de compacts.

Le lemme 2.1.6 assure que chaque $\Theta_{m}$ possède dans $U$ un voisinage ouvert $U_{m}$ dénombrable à l’infini.

La réunion $V$ des $U_{m}$ est un voisinage ouvert et dénombrable à l’infini de $\Sigma$ dans $U$  ; comme $\Sigma$ contient le support de $\omega$, l’ouvert $V$ de $X$ est un voisinage paracompact du support de $\omega|_{U}$.

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