On peut supposer que $V=\mathbf{R}^{n}$. Soit $\lambda$ la $(1,1)$-forme $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\mathopen{\|}{x^{2}}\mathclose{\|}$ sur $\mathbf{R}^{n}$. Comme $\lambda^{p}$ est fortement positive, elle appartient à l’intérieur du cône des formes de type $(p,p)$ strictement positives sur $\mathbf{R}^{n}$ ; il existe donc une fonction strictement positive $c$ sur $P$ telle que $\alpha+c\lambda^{p}$ soit une forme fortement positive.

Il suffit de poser $\alpha_{1}=\alpha+c\lambda^{p}$ et $\alpha_{2}=c\lambda^{p}$. ∎