6.4.2 [01W0]

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6.4.2

Soit $U$ un ouvert de $X$ et soit $s$ une section méromorphe régulière de $L$ sur $U$ . Il résulte de la la formule de Poincaré–Lelong que la fonction $\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}$ définit un courant sur $U$ et que $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}]+\delta_{\operatorname{div}(s)}=c_{1}(\bar{L})|_{U}$ .

\propname 6.4.3.

Soit $X$ une $k$ -variété algébrique propre, purement de dimension $n$ . Soit $\bar{L}_{1},\ldots,\bar{L}_{n}$ une famille de fibrés en droites munis de métriques lisses sur $X^{\mathrm{an}}$ . On a

\int_{X^{\mathrm{an}}}c_{1}(\bar{L}_{1})\wedge\dots\wedge c_{1}(\bar{L}_{n})=(c_{1}(L_{1})\dots c_{1}(L_{n})\cap[X]).

Comme $X$ est propre, les fibrés en droites analytiques $L_{i}$ sont algébriques ([7], théorèmes 3.4.1 et 3.5.1). Le membre de droite de cette dernière formule est le degré du 0-cycle sur $k$ obtenu en coupant successivement la classe fondamentale $[X]$ de $X$ par les premières classes de Chern $c_{1}(L_{1}),\dots,c_{1}(L_{n})$ des fibrés en droites $L_{i}$ puis en le projetant sur $\operatorname{Spec}(k)$ par le morphisme structural $X\rightarrow\operatorname{Spec}(k)$ .

Démonstration.

La proposition se démontre par récurrence sur $n$ . Soit $s$ une section méromorphe régulière de $L_{n}$ . Alors, $\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ est un courant sur $X$ et l’on a la formule de Poincaré–Lelong

\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}]+\delta_{\operatorname{div}(s)}=c_{1}(\bar{L}_{n}).

Notons $\alpha$ la forme lisse $c_{1}(\bar{L}_{1})\dots c_{1}(\bar{L}_{n-1})$ , et appliquons-lui cette égalité de courants. Il vient

\langle[\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}],\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\rangle+\int_{\operatorname{div}(s)}\alpha=\int_{X}c_{1}(\bar{L}_{1})\dots c_{1}(\bar{L}_{n}).

Par récurrence,

\int_{\operatorname{div}(s)}\alpha=(c_{1}(L_{1})\dots c_{1}(L_{n-1})\cap[\operatorname{div}(s)])=(c_{1}(L_{1})\dots c_{1}(L_{n})\cap[X]),

par définition même de l’intersection d’une première classe de Chern avec un cycle jointe au fait que le degré d’un zéro-cycle rationnellement équivalent à zéro est nul. D’autre part, la forme $\alpha$ s’écrit localement

\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}(u_{1})\dots\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}(u_{n-1}),

où $u_{1},\dots,u_{n-1})$ sont des sections inversibles de $L_{1},\dots,L_{n-1})$ . Il en résulte que $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha=0$ . Cela conclut la preuve de la proposition. ∎

\coroname 6.4.4.

Soit $X$ une $k$ -variété algébrique propre, purement de dimension $n$ . Soit $\bar{L}_{1},\ldots,\bar{L}_{n}$ une famille de fibrés en droites munis de métriques globalement approchables sur $X^{\mathrm{an}}$ . La masse totale de la mesure de Monge-Ampère est calculée par la formule

\int_{X^{\mathrm{an}}}\operatorname{MA}(c_{1}(\bar{L}_{1}),\dots,c_{1}(\bar{L}_{n}))=(c_{1}(L_{1})\dots c_{1}(L_{n})\cap[X]).

Démonstration.

Par multilinéarité, il suffit de traiter le cas où les $\bar{L}_{j}$ sont globalement psh-approchables. Pour tout $i$ , la métrique de $\bar{L}_{i}$ est alors limite uniforme d’une suite $(\bar{L}_{i,m})$ de métriques lisses psh sur $L_{i}$ . Par construction, $\operatorname{MA}(c_{1}(\bar{L}_{1}),\dots,c_{1}(\bar{L}_{n}))$ est la limite des mesures positives

c_{1}(\bar{L}_{1,m})\wedge\dots\wedge c_{1}(\bar{L}_{n,m}),

sur $X^{\mathrm{an}}$ , lorsque $m\rightarrow\infty$ . D’après la proposition 6.4.3, chacune de ces mesures est de masse

(c_{1}(L_{1})\dots c_{1}(L_{n})\cap[X]),

d’où le corollaire puisque $X^{\mathrm{an}}$ est compact. ∎

\remaname 6.4.5.

La preuve du corollaire 6.4.4 requiert que les métriques sur les fibrés en droites considérés soient non seulement localement approchables (de sorte que la mesure de Monge-Ampère existe), mais globalement approchables. Je ne sais pas si le résultat reste valable sans cette hypothèse restrictive.

Il serait intéressant de prouver que toute métrique psh continue sur une variété projective est globalement psh-approchable. Cela est vrai en analyse complexe, cf. [46], théorème 4.6.1, ou aussi [13], théorème 1.)