5.3 Formes lisses positives sur un espace analytique [01TB]

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5.3 Formes lisses positives sur un espace analytique

Sauf mention explicite du contraire, les espaces analytiques sont supposés être bons et topologiquement séparés.

\definame 5.3.1.

Soit $X$ un espace analytique (bon, séparé). On dit qu’une forme lisse $\omega$ de type $(p,p)$ sur $X$ est positive (resp. faiblement, resp. fortement positive) si pour tout point $x$ de $X$ , il existe un voisinage $U$ de $x$ dans $X$ qui est un domaine analytique compact, un moment $f\colon U\rightarrow T$ et une forme lisse $\eta$ positive (resp. faiblement, resp. fortement positive) sur $f_{\text{trop}}(U)$ telle que $\alpha=f^{*}\eta$ .

5.3.2

On vérifie immédiatement dans des cartes tropicales adéquates que si $\omega_{1},\dots,\omega_{r}$ sont des formes lisses fortement positives, alors $\omega_{1}\wedge\dots\wedge\omega_{r}$ est fortement positive. De même, si elles sont faiblement positives et qu’au plus une d’entre elles n’est pas fortement positives, ce produit est une forme faiblement positive.

Si $X$ est de dimension $n$ , les notions de formes positives et fortement positives coïncident en bidegrés $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(n-1,n-1)$ et $(n,n)$ .

\lemmname 5.3.3.

Soit $X$ un espace analytique (bon, séparé). Pour toute forme lisse $\omega$ de type $(p,p)$ dont le support est fortement paracompact, il existe des formes lisses fortement positives

$\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ telles que $\omega=\omega_{1}-\omega_{2}$ .

Démonstration.

Soit $(f_{i},P_{i})$ une famille de cartes tropicales, de sorte que $f_{i}$ soit un moment sur un ouvert $V_{i}$ de $X$ et $P_{i}$ un polytope compact contenant $f_{i,{\text{trop}}}(V_{i})$ , et, pour tout $i$ , soit $\alpha_{i}$ une forme sur $P_{i}$ telle que $\omega\mathrel{|}{V_{i}}=f_{i}^{*}\alpha_{i}$ . Par hypothèse, il existe une famille localement finie $(\lambda_{i})$ de fonctions lisses sur $X$ , subordonnée à ce recouvrement, telles que $0\leq\lambda_{i}\leq 1$ pour tout $i$ et $\sum\lambda_{i}$ est identiquement égale à $1$ au voisinage du support de $\omega$ .

Pour tout $i$ , choisissons des formes fortement positives $\alpha_{i,1}$ et $\alpha_{i,2}$ sur $P_{i}$ telles que $\alpha_{i}=\alpha_{i,1}-\alpha_{i,2}$ . Posons alors $\omega_{1}=\sum\lambda_{i}f_{i}^{*}\alpha_{i,1}$ et $\omega_{2}=\sum\lambda_{i}f_{i}^{*}\alpha_{i,2}$ ; ce sont des formes lisses et fortement positives telles que $\omega=\omega_{1}-\omega_{2}$ . ∎