Soit $V$ un espace $k$-analytique compact purement de dimension $n$. Soit $\omega$ une forme de type $(n-1,n)$ à coefficients mesurables sur $V$, que l’on suppose tropicale. Soit $W,W_{1}$ et $W_{2}$ trois domaines analytiques compacts de $V$.

1. 1.

   Chacun des quatre termes

   $$\int_{\partial(W_{1}\cup W_{2})}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\int_{\partial W_{1}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\int_{\partial W_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\;\text{et}\;\int_{\partial(W_{1}\cap W_{2})}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$$

   est majoré par la somme des trois autres, et s’ils sont tous finis alors

   $$\int_{\partial(W_{1}\cup W_{2})}\omega=\int_{\partial W_{1}}\omega+\int_{\partial W_{2}}\omega-\int_{\partial(W_{1}\cap W_{2}}\omega.$$

2. 2.

   Supposons que $W$ est un voisinage de $\operatorname{supp}(\omega)$. On a alors $\int_{\partial W}|\omega|=\int_{\partial V}|\omega|$, et $\int_{\partial W}\omega=\int_{\partial V}\omega$ si $\omega$ est intégrable le long de $\partial V$.