On dit qu’une partie $P$ de $V$ est un polytope si c’est une réunion finie de cellules de $V$.

Soit $P$ un polytope. Une décomposition cellulaire de $P$ est la donnée d’un ensemble fini $\mathscr{C}$ de cellules vérifiant les propriétés suivantes :

• —

  Le polytope $P$ est la réunion des cellules appartenant à $\mathscr{C}$ ;

• —

  Pour tout couple $(C,D)$ d’éléments de $\mathscr{C}$, $C\cap D$ est une face de $C$ et de $D$ ;

• —

  Pour tout $C\in\mathscr{C}$, toute face de $C$ appartient à $\mathscr{C}$.

Tout polytope admet une décomposition cellulaire.

Soit $\mathscr{C}$ une décomposition cellulaire d’un polytope $P$ de $V$. Les cellules ouvertes de $\mathscr{C}$ sont par définition les intérieurs des cellules de $\mathscr{C}$  ; elles sont deux à deux disjointes.

On dit qu’une décomposition cellulaire $\mathscr{C}^{\prime}$ de $P$ raffine la décomposition $\mathscr{C}$ si toute cellule de $\mathscr{C}^{\prime}$ est contenue dans une cellule de $\mathscr{C}$.