6.2 Métriques [01V4]

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6.2 Métriques

6.2.1 Fibrés vectoriels

Un fibré vectoriel sur un espace $k$ -analytique $X$ est un faisceau en modules localement libres de rang fini sur le site annelé $X_{\rm G}$ (à savoir $X$ muni de la G-topologie et du faisceau structural).

Il définit par restriction à l’espace topologique $X$ un faisceau en $\mathscr{O}_{X}$ -modules, dont on ne sait pas s’il est en général localement libre. C’est toutefois toujours le cas lorsque $X$ est bon, et notamment sans bord ; on dispose même plus précisément dans cette situation d’une équivalence entre la catégorie des $\mathscr{O}_{X_{\rm G}}$ -modules localement libres de rang fini et celle des $\mathscr{O}_{X}$ -modules localement libres de rang fini ([8], prop. 1.3.4).

Soit $X$ un espace analytique et soit $E$ un fibré vectoriel sur $X$ . Notons $\mathbf{V}(E)$ l’espace total de $E$ : c’est un espace analytique muni d’un morphisme $\pi$ vers $X$ dont les sections au-dessus d’un domaine analytique de $X$ s’identifient aux sections de $E$ sur ce domaine. Si $E=\mathscr{O}_{X}^{n}$ , alors $\mathbf{V}(E)=\mathbf{A}^{n}_{X}$ est l’espace affine (analytique) au-dessus de $X$ ; dans le cas général, on le construit par recollement.

\definame 6.2.2 (Métriques).

Soit $X$ un espace analytique et soit $E$ un fibré vectoriel sur $X$ . Une métrique continue sur $E$ est une application continue $\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}\colon\mathbf{V}(E)\rightarrow\mathbf{R}_{+}$ qui est une norme dans chaque fibre, au sens suivant : pour tout point $x\in X$ , toute extension valuée complète $L$ de $\mathscr{H}(x)$ , l’application de $E(x)\otimes L$ dans $\mathbf{R}$ donnée par la composition

E(x)\otimes L\hookrightarrow\mathbf{V}(E)\times L\rightarrow\mathbf{V}(E)\xrightarrow{\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}}\mathbf{R}_{+}

est une norme ultramétrique sur le $L$ -espace vectoriel de dimension finie $E(x)\otimes L$ .

On notera souvent $\bar{E}$ la donnée d’un fibré vectoriel $E$ sur $X$ et d’une métrique sur ce fibré.

\remaname 6.2.3.

Soit $X$ un espace analytique, soit $E$ un fibré vectoriel sur $X$ muni d’une métrique continue $\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}$ . Pour toute section $s$ de $E$ sur un domaine analytique $U$ de $X$ , on déduit de $\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}$ une application continue, notée $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ , de $U$ dans $\mathbf{R}_{+}$ : c’est la composition

U\xrightarrow{s}\mathbf{V}(E)\xrightarrow{\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}}\mathbf{R}_{+},

où l’on note encore $s$ la section au-dessus de $U$ de la projection canonique de $\mathbf{V}(E)$ sur $X$ .

Notons $\mathscr{C}^{0}_{X}$ (resp. $\mathscr{C}^{0}_{X_{\rm G}}$ ) le faisceau $U\mapsto\mathscr{C}^{0}(U,\mathbf{R})$ sur l’espace topologique $X$ (resp. le site $X_{\rm G}$ ). Une métrique continue sur $E$ donne lieu à un morphisme de faisceaux $E\to\mathscr{C}^{0}_{X_{\rm G}}$ , noté $s\mapsto\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ , qui vérifie les propriétés suivantes :

—

Si $U$ est un domaine analytique de $X$ , $f\in\Gamma(U,\mathscr{O}_{X})$ et $s\in\Gamma(U,E)$ , alors $\mathopen{\|}{fs}\mathclose{\|}=\mathopen{|}{f}\mathclose{|}\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ ;
—

Si $U$ est un domaine analytique de $X$ et $s_{1},s_{2}\in\Gamma(U,E)$ , alors $\mathopen{\|}{s_{1}+s_{2}}\mathclose{\|}\leq\max(\mathopen{\|}{s_{1}}\mathclose{\|},\mathopen{\|}{s_{2}}\mathclose{\|})$ ;
—

Si $U$ est un domaine analytique de $X$ et $s\in\Gamma(U,E)$ , la fonction $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ est à valeurs positives et s’annule en un point $x$ de $U$ si et seulement si $s(x)=0$ .

\definame 6.2.4 (Métriques lisses).

On dit qu’une métrique sur un fibré vectoriel $E$ est lisse si l’application de $\mathbf{V}(E)\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}\{0\}$ dans $\mathbf{R}_{+}^{*}$ déduite par restriction au complémentaire de la section nulle est lisse.

\remaname 6.2.5.

Soit $L$ un fibré en droite muni d’une métrique. Pour que cette métrique soit lisse, il faut et il suffit que pour toute section inversible $s$ sur un ouvert $U$ de $X$ , la fonction $\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ soit lisse sur $U$ .

La nécessité de la condition est évidente, car $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ est la composition de la norme et de la section $U\rightarrow\mathbf{V}(E)$ déduite de $s$ , l’image de cette section étant contenue dans le complémentaire de la section nulle. Inversement, la section $s$ fournit un isomorphisme de $\mathbf{V}(E)|_{U}$ avec $\mathbf{A}^{1}\times U$ ; par cet isomorphisme, la métrique est transformée en l’application $(t,x)\mapsto\mathopen{|}{t}\mathclose{|}\mathopen{\|}{s(x)}\mathclose{\|}$ ; sa restriction au complémentaire $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}\times U$ de la section nulle est donc lisse.

\propname 6.2.6.

Soit $X$ un espace $k$ -analytique bon et paracompact. Tout fibré en droites sur $X$ possède une métrique lisse.

Il serait intéressant de prouver que tout fibré vectoriel sur $X$ possède une métrique lisse. Les arguments de la proposition montrent qu’il suffit de savoir traiter le cas d’un fibré vectoriel trivial.

Démonstration.

Soit $L$ un fibré en droites sur $X$ . Comme $X$ est bon, il existe un recouvrement $(U_{i})$ un recouvrement de $X$ par des ouverts sur lesquels $L$ est trivialisable. Soit $(\lambda_{i})$ une partition de l’unité lisse subordonnée au recouvrement ouvert $(U_{i})$ . Pour tout $i$ , soit $s_{i}$ une section inversible de $L|_{U_{i}}$ . Il existe une unique métrique sur $L$ pour laquelle,

\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}(x)=\sum_{i}\lambda_{i}(x)\log\mathopen{|}{s/s_{i}}\mathclose{|}(x)

pour tout ouvert $U$ de $X$ et toute section inversible $s$ de $L$ sur $U$ , la somme étant réduite aux indices $i$ tels que $x\in U_{i}$ . Pour une telle section $s$ , la fonction $\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ est lisse, si bien que la métrique ainsi définie sur $L$ est lisse. ∎

6.2.7

Si $X$ est un espace $k$ -analytique, on définit ${\rm PL}(X)$ comme le groupe abélien des fonctions continues à valeurs réelles $f$ sur $X$ possédant la propriété suivante : il existe un G-recouvrement $(X_{i})$ de $X$ par des domaines analytiques relativement stricts et, pour tout $i$ , un fonction holomorphe inversible $f_{i}$ sur $X$ telle que $f|_{X_{i}}=\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}$ .

\lemmname 6.2.8.

L’ensemble ${\rm PL}(X)$ est un sous-groupe du groupe des fonctions numériques continue sur $X$ . Si $u$ et $v$ sont deux fonctions PL, $\max(u,v)$ et $\min(u,v)$ sont PL.

Démonstration.

La fonction nulle est évidemment PL. Soit $(X_{i})$ un G-recouvrement de $X$ par des domaines analytiques relativement stricts et, pour tout $i$ , soit $f_{i}$ et $g_{i}$ des fonctions inversibles sur $X_{i}$ telles que $u|_{X_{i}}=\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}$ et $v|_{X_{i}}=\log\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ . La fonction $u+v$ est égale à $\log\mathopen{|}{f_{i}g_{i}}\mathclose{|}$ sur $X_{i}$ , ce qui prouve qu’elle est PL. De même, la fonction $-u$ est égale à $\log\mathopen{|}{f_{i}^{-1}}\mathclose{|}$ sur $X_{i}$ , donc est PL.

Notons $X_{i}^{+}$ et $X_{i}^{-}$ les domaines analytiques de $X_{i}$ définis par $\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}\geq\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ et $\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}\leq\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ respectivement. Sur $X_{i}^{+}$ , on a $\max(u,v)=\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}$ et $\min(u,v)=\log\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ . sur $X_{i}^{-}$ , on a $\max(u,v)=\log\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ et $\min(u,v)=\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}$ . Il en résulte que $\max(u,v)$ et $\min(u,v)$ sont PL. ∎

\definame 6.2.9.

Soit $X$ un espace $k$ -analytique et soit $\bar{E}$ un fibré vectoriel métrisé sur $X$ . On dit qu’une base $(e_{1},\ldots,e_{n})$ de $E$ est orthonormée si

\mathopen{\|}{(\sum f_{i}e_{i})(x)}\mathclose{\|}=\max\mathopen{|}{f_{i}(x)}\mathclose{|}

(6.2.9.1)

pour tout domaine analytique $Y$ de $X$ , toute famille $(f_{i})$ de fonctions analytiques sur $Y$ et tout $x\in Y$ .

On dit que $\bar{E}$ est PL (ou que la métrique de $E$ est PL) s’il existe un G-recouvrement $(X_{i})$ relativement strict de $X$ tel que $\bar{E}|_{X_{i}}$ admette pour tout $i$ une base orthonormée.

\exemname 6.2.10 (Métriques formelles).

Soit $E$ un fibré vectoriel sur un espace analytique $X$ . Considérons un modèle formel $(\mathfrak{X},\mathfrak{E})$ de $(X,E)$ : cela signifie que $\mathfrak{X}$ est $k^{\circ}$ -schéma formel, plat et localement topologiquement de type fini muni d’un isomorphisme $\mathfrak{X}_{\eta}\simeq X$ et que $\mathfrak{E}$ est un fibré vectoriel sur $\mathfrak{X}$ muni d’un isomorphisme $\mathfrak{E}_{\eta}\simeq E$ . On lui associe une métrique PL sur $E$ de la façon suivante.

Soit $(\mathfrak{U}_{i})$ un recouvrement formel de $\mathfrak{X}$ qui trivialise $\mathfrak{E}$ et soit, pour tout $i$ , une trivialisation $(e_{1},\dots,e_{n})$ de $\mathfrak{E}|_{\mathfrak{U}_{i}}$ . Pour tout $i$ , $\mathfrak{U}_{i,\eta}$ est un domaine analytique de $X$ .

Pour toute section $s$ de $E$ sur le domaine analytique fermé $\mathfrak{U}_{i,\eta}$ de $X$ , il existe une unique famille $(f_{1},\dots,f_{n})$ de fonctions holomorphes sur $\mathfrak{U}_{i,\eta}$ telles que $s=\sum f_{i}e_{i}$ , et l’on pose $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}=\max(\mathopen{|}{f_{1}}\mathclose{|},\dots,\mathopen{|}{f_{n}}\mathclose{|})$ ; c’est une fonction continue.

Si $(e^{\prime}_{1},\dots,e^{\prime}_{n})$ est une autre trivialisation de $\mathfrak{E}|_{\mathfrak{U}_{i}}$ , il existe une matrice inversible $A\in\operatorname{GL}_{n}(\mathfrak{U}_{i})$ telles que $(e_{1},\dots,e_{n})=(e^{\prime}_{1},\dots,e^{\prime}_{n})\cdot A$ . Si $s=\sum f_{i}e_{i}=\sum f^{\prime}_{i}e^{\prime}_{i}$ , cela entraîne la relation $(f^{\prime}_{1},\dots,f^{\prime}_{n})^{\mathrm{t}}=A(f_{1},\dots,f_{n})^{\mathrm{t}}$ . Pour tout point $x\in\mathfrak{U}_{i,\eta}$ , $\mathopen{\|}{A(x)}\mathclose{\|}=\mathopen{\|}{A^{-1}(x)}\mathclose{\|}=1$ , si bien que l’on a $\max(\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|})=\max(\mathopen{|}{f^{\prime}_{i}}\mathclose{|})$ . Il en résulte que la définition donnée de $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ ne dépend pas du choix de la trivialisation $(e_{1},\dots,e_{n})$ .

Cela entraîne aussi que ces différentes prescriptions coïncident sur les domaines analytiques $\mathfrak{U}_{i,\eta}\cap\mathfrak{U}_{j,\eta}$ , d’où un morphisme de faisceau de $E$ dans l’espace des fonctions à valeurs réelles sur $X$ .

Comme les domaines $\mathfrak{U}_{i,\eta}$ forment un G-recouvrement de $X$ , tout point de $X$ possède un voisinage qui est réunion finie de certains de ces $\mathfrak{U}_{i,\eta}$ . Par suite, l’image de ce morphisme est contenu dans le faisceau $\mathscr{C}^{0}_{X_{G}}$ .

C’est une métrique PL sur $E$ . De telles métriques seront appelées formelles.

6.2.11

Le produit tensoriel $L\otimes L^{\prime}$ de deux fibrés en droites métrisés $L$ et $L^{\prime}$ possède une unique métrique pour laquelle $\mathopen{\|}{s\otimes s^{\prime}}\mathclose{\|}=\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}\mathopen{\|}{s^{\prime}}\mathclose{\|}$ si $s$ et $s^{\prime}$ sont des sections de $L$ et $L^{\prime}$ respectivement. De même, l’inverse d’un fibré en droites métrisé $L$ possède une unique métrique pour laquelle $\mathopen{\|}{s^{-1}}\mathclose{\|}=\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}$ si $s$ est une section inversible de $L$ . Si les métriques sur $L$ et $L^{\prime}$ sont continues, resp. PL, resp. lisses, il en est de même des métriques sur $L\otimes L^{\prime}$ et $L^{-1}$ .

\remaname 6.2.12.

On peut définir des fonctions $\mathbf{Q}$ -PL comme les fonctions dont un multiple entier (non nul) est PL, voire les fonctions $\mathbf{R}$ -PL comme le sous-espace réel engendré par les fonctions PL.

On pourrait définir de même une métrique $\mathbf{Q}$ -PL (resp. $\mathbf{R}$ -PL) sur un fibré vectoriel $E$ comme on l’a fait pour les métriques PL, en remplaçant l’égalité (6.2.9.1) de la définition 6.2.9 par $\mathopen{\|}{(\sum f_{i}e_{i})(x)}\mathclose{\|}=\max u_{i}(x)\mathopen{|}{f_{i}(x)}\mathclose{|}$ , où les $u_{i}$ sont des fonctions strictement positives telles que $\log(u_{i})$ soit $\mathbf{Q}$ -PL (resp. $\mathbf{R}$ -PL) pour tout $i$ .

Une métrique sur un fibré en droites $L$ est dite $\mathbf{Q}$ -formelle s’il existe un entier $n\geq 1$ tel que la métrique induite sur la puissance tensorielle $L^{\otimes n}$ est formelle. Une métrique $\mathbf{Q}$ -formelle est $\mathbf{Q}$ -PL.

Ces métriques sont importantes en pratique.

\propname 6.2.13.

Supposons que $\mathopen{|}{k^{\times}}\mathclose{|}\neq 1$ . Soit $X$ un espace strictement $k$ -analytique paracompact. Tout fibré vectoriel sur $X$ possède une métrique formelle.

Démonstration.

Berkovich démontre dans [8], Théorème 1.6.1, que sous ces hypothèses, $X$ correspond à un espace rigide $X_{0}$ quasi-séparé possédant un recouvrement affinoïde de type fini (au sens où chaque ouvert du recouvrement ne rencontre qu’un nombre fini d’entre eux). D’après le théorème 2.8/3 de [15] (qui étend du cas quasi-compact au cas paracompact le théorème fondamental de Raynaud, théorème 4.1 de [16] ; voir aussi [44]), $X$ est la fibre générique d’un schéma formel admissible quasi-paracompact $\mathfrak{X}$ .

Soit alors $E$ un fibré vectoriel sur $X$ . D’après [8] (bas de la p. 37), il est associé à un fibré vectoriel $E_{0}$ sur l’espace rigide $X_{0}$ . De plus, $E_{0}$ est la fibre générique d’un faisceau cohérent $\mathfrak{E}$ sur $\mathfrak{X}$ . Apparemment, la preuve ne se trouve dans la littérature (proposition 5.6 de [16], par exemple) que sous l’hypothèse que $X$ est compact. Cependant, si nous partons d’un recouvrement de type fini de $X_{0}$ par des affinoïdes, la procédure décrite dans le lemme 5.7 de [16] ne modifiera le modèle formel au voisinage d’un point donné de $\mathfrak{X}$ qu’en un nombre fini d’étapes, si bien que le résultat s’étend, de même que notre fibré vectoriel. Appliquant alors le théorème de platification ([17], théorème 4.1), il existe un éclatement formel $\pi\colon\mathfrak{X}^{\prime}\rightarrow\mathfrak{X}$ tel que le transformé strict $\mathfrak{E}^{\prime}$ de $\mathfrak{E}$ soit localement libre sur $\mathfrak{X}^{\prime}$ . ∎

6.2.14

Pour $*\in\{\mathscr{C}^{0},{\rm PL},\text{lisse}\}$ , notons $\mathop{\widehat{\mathrm{Pic}}}(X,*)$ l’ensemble des classes d’isométrie de fibrés en droites sur $X$ munis d’une métrique $*$ . Le produit tensoriel et l’inverse le munissent d’une structure de groupe abélien. De plus, l’oubli de la métrique définit un homomorphisme de groupes $\mathop{\widehat{\mathrm{Pic}}}(X,*)\rightarrow\operatorname{Pic}(X)$ . Cet homomorphisme est surjectif si $X$ est paracompact (et si $\mathopen{|}{k^{\times}}\mathclose{|}\neq 1$ lorsque $*={\rm PL}$ ). Son noyau est l’ensemble des métriques $*$ sur le fibré en droites trivial. C’est donc le groupe des fonctions $*$ sur $X$ modulo le sous-groupe des fonctions (continues, lisses et PL) de la forme $\log\mathopen{|}{u}\mathclose{|}$ , pour $u\in\Gamma(X,\mathscr{O}_{X}^{*})$ .

6.2.15

Soit $E$ un fibré vectoriel métrisé sur $X$ . Soit $f\colon Y\rightarrow X$ un morphisme d’espaces $k$ -analytiques. On dispose alors d’un carré cartésien

\vbox{\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 20.5pt\hbox{\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\halign{\entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&\cr&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-20.5pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{\mathbf{V}(f^{*}E)\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 20.5pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 23.16315pt\raise 6.57835pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-2.21725pt\hbox{$\scriptstyle{f^{\prime}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 44.5pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-8.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-24.33334pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 44.5pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{\mathbf{V}(E)\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 59.71526pt\raise-8.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 59.71526pt\raise-24.33334pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern-7.01389pt\raise-31.66666pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{Y\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 7.0139pt\raise-31.66666pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 24.51558pt\raise-25.55556pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.75pt\hbox{$\scriptstyle{f}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 52.18054pt\raise-31.66666pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 52.18054pt\raise-31.66666pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{X}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces}}}}}.

Si $E$ est libre, identifié à $\mathscr{O}_{X}^{n}$ , $f^{*}E$ est identifié à $\mathscr{O}_{Y}^{n}$ , le morphisme $f^{\prime}$ s’identifie à l’application $(\operatorname{id},f)$ de $\mathbf{V}(f^{*}E)=\mathbf{A}^{n}\times Y$ dans $\mathbf{V}(E)=\mathbf{A}^{n}\times X$ . On définit alors une métrique sur le fibré vectoriel $f^{*}E$ par la composition $\mathbf{V}(f^{*}E)\xrightarrow{f^{\prime}}\mathbf{V}(E)\xrightarrow{\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}}\mathbf{R}_{+}$ .

Si la métrique de $E$ est lisse, resp. ${\rm PL}$ , il en est de même de la métrique de $f^{*}E$ ainsi définie. Par passage aux classes d’isométrie de fibrés en droites métrisés PL, on en déduit un homomorphisme de groupes $f^{*}\colon\mathop{\widehat{\mathrm{Pic}}}(X,*)\rightarrow\mathop{\widehat{\mathrm{Pic}}}(Y,*)$ .