6.5 Préliminaires à propos de la réduction des germes [01W6]

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6.5 Préliminaires à propos de la réduction des germes

Le résultat suivant est certainement bien connu ; nous en rappelons la preuve pour la commodité du lecteur.

\lemmname 6.5.1.

Soit $\mathfrak{X}$ un schéma formel plat et séparé sur $k^{\circ}$ admettant un recouvrement localement fini par des ouverts affines topologiquement de présentation finie sur $k^{\circ}$ , soit $x\in\mathfrak{X}_{\eta}$ et soit $V$ l’adhérence de $\pi(x)$ dans $\mathfrak{X}_{s}$ (munie de sa structure réduite). L’ouvert quasi-compact $\widetilde{(\mathfrak{X}_{\eta},x)}$ de $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}$ est égal à $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{V\}$ .

En particulier, $x$ est un point intérieur de $\mathfrak{X}_{\eta}$ si et seulement si $V$ est propre.

Démonstration.

Remarquons qu’il résulte des hypothèses faites sur $\mathfrak{X}$ que $V$ est un $\tilde{k}$ -schéma intègre de type fini. Soit $(\mathfrak{U}_{1},\ldots,\mathfrak{U}_{n})$ une famille finie d’ouverts formels affines rencontrant $V$ et le recouvrant. Comme $\pi^{-1}(V)$ est un voisinage ouvert de $x$ dans $\mathfrak{X}_{\eta}$ qui est contenu dans $\bigcup\mathfrak{U}_{i,\eta}$ , on peut remplacer $\mathfrak{X}$ par la réunion des $\mathfrak{U}_{i}$ . Alors, $\widetilde{(\mathfrak{X}_{\eta},x)}=\bigcup\widetilde{(\mathfrak{U}_{i,\eta},x)}$ et $V=\bigcup\mathfrak{U}_{i,s}\cap V$ , et il suffit de montrer l’assertion requise pour chacun des $\mathfrak{U}_{i}$ . En d’autres termes, pour prouver que $\widetilde{(\mathfrak{X}_{\eta},x)}$ coïncide avec $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{V\}$ , on peut supposer que $\mathfrak{X}$ est un schéma formel affine topologiquement de présentation finie sur $k^{\circ}$ .

Soit $(f_{1},\ldots,f_{n})$ une famille génératrice de la $\tilde{k}$ -algèbre $\mathscr{O}_{V}(V)$ . Par définition, on a $\widetilde{(\mathfrak{X}_{\eta},x)}=\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{f_{1},\ldots,f_{n}\}$ . Mais ce dernier coïncide avec $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{V\}$ , d’où l’égalité voulue.

La dernière assertion du lemme s’en déduit : d’après le critère valuatif de propreté, $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{V\}$ égale $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}$ si et seulement si $V$ est propre sur $\tilde{k}$ . ∎

\remaname 6.5.2.

Soit $(X,x)$ un germe d’espace $k$ -analytique, soit $f$ une fonction sur $(X,x)$ et soit $(Y,x)$ un domaine analytique de $(X,x)$ tel que $|f|=1$ sur $(Y,x)$ ; l’inclusion de $(Y,x)$ dans le domaine de $(X,x)$ défini par l’égalité $|f|=1$ implique que

\widetilde{(Y,y)}\subset\widetilde{(X,x)}\cap\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{\widetilde{f(x)},\widetilde{f(x)}^{-1}\}.

Par conséquent, $\widetilde{f(x)}$ est une section inversible de $\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}}(\widetilde{(Y,y)})$ .

6.5.3

Soit $X$ un espace $k$ -analytique $X$ et soit $x\in X$ . On notera $\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp}$ le sous-anneau de $\mathscr{O}_{X,x}$ formé des fonctions $f$ telles que $\mathopen{|}{f(x)}\mathclose{|}\leq 1$ ; on dispose d’une flèche naturelle $f\mapsto\widetilde{f(x)}$ de $\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp}$ vers $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$ . Si l’image de $\mathscr{O}_{X,x}$ dans ${\mathscr{H}}(x)$ est dense, ce qui est par exemple le cas si $(X,x)$ est bon, ou plus généralement s’il s’identifie à un domaine analytique d’un bon germe, alors $\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp}\to\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$ est surjective.

Soit $n\in\mathbf{N}$ . On dispose d’une flèche naturelle $g\mapsto\widetilde{g(x)}$ de $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ dans $\operatorname{GL}_{n}(\widetilde{{\mathscr{H}}(x)})$ , qui est là encore surjective si l’image de $\mathscr{O}_{X,x}$ dans ${\mathscr{H}}(x)$ est dense.

Soit $(Y,x)$ un domaine analytique relativement strict de $(X,x)$ et soit $f$ (resp. $g$ ) appartenant à $\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp}$ (resp. $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ ). Il résulte de la remarque 6.5.2 que les assertions suivantes sont équivalentes :

i)

La restriction de $f$ (resp. $g$ ) à $(Y,x)$ appartient à $O_{X}^{\circ}(Y,x)$ (resp. $\operatorname{GL}_{n}^{\circ}(Y,x)$ ) ;
ii)

L’élément $\widetilde{f(x)}$ (resp. $\widetilde{g(x)}$ ) de $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$ (resp. de $\operatorname{GL}_{n}(\widetilde{{\mathscr{H}}(x)})$ ) appartient à $\mathscr{O}_{\widetilde{(X,x)}}(\widetilde{Y,x)}$ (resp. à $\operatorname{GL}_{n}\widetilde{(Y,x)}$ ).

6.5.4 Réduction de cocycles

Soit $X$ un espace $k$ -analytique, soit $x\in X$ et soit $((X_{\alpha},x))$ un G-recouvrement fini et relativement strict de $(X,x)$ . Soit $(g_{\alpha\beta})$ un cocycle sur $(X,x)_{\text{G}}$ , à coefficients dans $\operatorname{GL}_{n}^{\circ}$ , et subordonné au recouvrement $((X_{\alpha},x))$ . La famille des $\widetilde{g_{\alpha,\beta}(x)}$ constitue un cocycle sur $\widetilde{(X,x)}$ , à coeffficients dans $\operatorname{GL}_{n}$ , et subordonné au recouvrement $(\widetilde{(X_{\alpha}),x)}$ . Cette construction est compatible aux raffinements de recouvrement ; et si les cocycles $(g_{\alpha,\beta})$ et $(g^{\prime}_{\alpha,\beta})$ sont cohomologues via une cochaîne $(c_{\alpha})$ , alors $\widetilde{g_{\alpha,\beta}(x)}$ et $\widetilde{g^{\prime}_{\alpha,\beta}(x)}$ sont cohomologues via $\widetilde{c_{\alpha}(x)}$ .

6.5.5 Réduction et relèvement de cocycle

Soit $X$ un espace $k$ -analytique et soit $x\in X$ tel que $\mathscr{O}_{X,x}$ soit d’image dense dans ${\mathscr{H}}(x)$ . Soit $(Y,x)$ un domaine analytique de $(X,x)$ relativement strict. Soit $n\geq 0$ .

A) Soit $\mathsf{A}$ un ensemble fini et soit $(\gamma_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta)\in\mathsf{A}^{2}}$ une famille d’éléments de $\operatorname{GL}_{n}(\widetilde{{\mathscr{H}}(x)})$ satisfaisant les relations de cocycle. Fixons $\alpha_{0}$ , et choisissons pour tout $\beta$ un relèvement $g_{\alpha_{0},\beta}$ de $\gamma_{\alpha_{0},\beta}$ dans $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ . La famille $(g_{\alpha_{0},\beta})_{\beta}$ se prolonge d’une unique manière en une famille $(g_{\alpha,\beta})_{\alpha,\beta}$ qui satisfait les relations de cocycles. Par construction, celle-ci relève $(\gamma_{\alpha,\beta})$ . Pour tout $(\alpha,\beta)$ , la matrice $g_{\alpha,\beta}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}^{\circ}(Y,x)$ si et seulement si $\gamma_{\beta,\alpha}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}\widetilde{(Y,x)}$ .

B) Soit $(g^{\prime}_{\alpha,\beta})$ un cocycle à coefficients dans $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ se réduisant en un cocycle $(\gamma^{\prime}_{\alpha,\beta})$ d’éléments de $\operatorname{GL}_{n}(\widetilde{{\mathscr{H}}(x)})$ . Supposons que $(\gamma^{\prime}_{\alpha,\beta})$ est cohomologue à $(\gamma_{\alpha,\beta})$ via une cochaîne $(\delta_{\alpha})$ . Fixons $\alpha_{0}$ , et choisissons $d_{\alpha_{0}}\in\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ qui relève $\delta_{\alpha_{0}}$ , et posons $d_{\beta}=g_{\alpha_{0},\beta}^{-1}d_{\alpha_{0}}g^{\prime}_{\alpha_{0},\beta}$ ; la cochaîne $(d_{\alpha})$ relève alors $(\delta_{\alpha})$ , et les cocycles $(g_{\alpha,\beta})$ et $(g^{\prime}_{\alpha,\beta})$ sont cohomologues via $(\delta_{\alpha})$ . Pour tout $\alpha$ , la matrice $d_{\alpha}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}^{\circ}(Y,x)$ si et seulement si $\delta_{\alpha}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}\widetilde{(Y,x)}$ .

C) Soit $(v_{\alpha})$ une cochaîne à coefficients dans $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$ telle que $v_{\beta}=\gamma_{\alpha,\beta}g_{\alpha}$ pour tout $(\alpha,\beta)$ . Fixons $\alpha_{0}$ , choisissons un relevé $w_{\alpha_{0}}$ de $v_{\alpha_{0}}$ dans $(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})^{n}$ , et posons $w_{\beta}=g_{\alpha_{0},\beta}v_{\alpha_{0}}$ pour tout $\beta$ ; la cochaîne $(w_{\alpha})$ relève alors $(v_{\alpha})$ et l’on a $w_{\beta}=g_{\alpha,\beta}w_{\alpha}$ pour tout $(\alpha,\beta)$ . Pour tout $\alpha$ , le vecteur $w_{\alpha}$ appartient à $\mathscr{O}_{X}^{\circ}(Y,x)^{n}$ si et seulement si $v_{\alpha}$ appartient à $\mathscr{O}_{\widetilde{(X,x)}}\widetilde{(Y,x)}^{n}$ .