On peut supposer que $V=\mathbf{R}^{n}$, $V_{+}=\mathbf{R}_{+}\times\mathbf{R}^{n-1}$, et que le vecteur-volume $\mu$ est égal à $e_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}$. Posons

$$\omega=\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta-\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\beta.$$

Considérant $\omega$ comme une $(n-1)$-forme à coefficients dans le fibré vectoriel trivial $\Lambda^{n}\overrightarrow{V}^{*}$, la formule de Stokes usuelle assure que

$$\int_{V_{+}}\mathrm{d}\omega=\int_{\partial V_{+}}\omega.$$

Par ailleurs,

$$\mathrm{d}\omega=(\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta-\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\beta)+(\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta+\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\beta).$$

Pour démontrer le lemme, il suffit donc de prouver $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta=-\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\beta$. Comme toute forme de type $(n,n)$ est symétrique et $p+q=n-1$, on a

	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta$	$\displaystyle=\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha\wedge\mathrm{J}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathrm{J}\beta$
		$\displaystyle=(-1)^{q}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha\wedge\mathrm{J}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\beta$
		$\displaystyle=(-1)^{n+q}\mathrm{J}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\beta$
		$\displaystyle=(-1)\mathrm{J}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathrm{J}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\beta$
		$\displaystyle=-\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\beta,$

d’où le lemme. ∎