Soit $V$ un $\mathbf{R}$-espace affine de dimension finie. Soit $\mathscr{F}$ la classe des fonctions numériques mesurables sur un espace affine, et soit $\mathscr{L}^{1}$ la sous-classe formée des fonctions intégrables pour la mesure de Lebesgue. (On n’identifie pas deux fonctions égales presque partout.)

Soit $W$ un sous-espace affine de $V$, soit $p$ sa dimension ; soit $o$ une orientation de $W$.

Soit $n$ un entier naturel et soit $\lambda\in\Lambda^{n}V$. Soit $\omega$ une $(p,n)$-forme à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur un ouvert $U$ de $V$. On note $\langle\omega,\lambda\rangle$ la $(p,0)$-forme sur $V$ déduite de $\omega$ en contractant par $\lambda$ la partie faisant intervenir les variables en $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ ; c’est donc une $p$-forme (au sens usuel de la géométrie différentielle) à coefficients mesurables sur $V$. On note alors

$$\int_{U\cap W}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\lambda}\mathclose{|}\rangle$$

la masse totale de la mesure sur $U\cap W$ déduite de la restriction à $W$ de la $p$-forme $\langle\omega,\lambda\rangle$. On dit que $\omega$ est intégrable sur $W\cap U$ si cette masse totale est finie.

Dans ce cas, l’orientation $o$ fixée sur $W$ permet de définir l’intégrale de $\langle\omega,\lambda\rangle$ sur $U\cap W$ ; sous-entendant le choix de l’orientation $o$, on note naturellement

$$\int_{U\cap W}\langle\omega,\lambda\rangle$$

cette intégrale.

Les formes $\omega$ de type $(p,n)$ à coefficients mesurables sur $U$ qui sont intégrables sur $W$ forment un sous-espace vectoriel de $\mathscr{F}^{p,n}_{V}(U)$. L’application $\omega\mapsto\int_{U\cap W}\langle\omega,\lambda\rangle$ est linéaire.