Par $n$-linéarité et symétrie, on se ramène au cas où les $\bar{L}_{j}$ sont tous égaux à un même fibré métrisé $\bar{L}$. On sait que le support de la mesure considérée est contenue dans $\operatorname{Int}(X)$. Soit $x\in\operatorname{Int}(X)$ et soit $(V,M)$ un prémodèle de $\mathsf{L}(x)$ où $V$ est de dimension minimale. On peut supposer $V$ projective, et écrire $M\simeq M_{1}\otimes M_{2}^{\vee}$, où $M_{1}$ et $M_{2}$ sont engendrés par leurs sections globales — on peut même les choisir très amples.

Relevons $M_{1}$ et $M_{2}$ en deux fibrés métrisés PL sur $(X,x)$ que l’on note $\bar{L}_{1}$ et $\bar{L}_{2}$. On dispose donc d’un isomorphisme $\bar{L}\simeq\bar{L}_{1}\otimes\bar{L}_{2}^{\vee}$ au voisinage de $x$. Soit $s$ (resp. $s_{2}$) une section de $L$ (resp. $L_{2}$). Leur produit tensoriel $s\otimes s_{2}$ s’identifie à une section $s_{1}$ de $L_{1}$. Comme $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}=\mathopen{\|}{s_{1}}\mathclose{\|}.\mathopen{\|}{s_{2}}\mathclose{\|}^{-1}$, et comme la dimension de définition de $\bar{\mathsf{L}_{i}}(x)$, pour $i=1,2$, est majorée par la dimension de $V$, on peut, pour démontrer la proposition, supposer que $M$ est engendré par ses sections globales.

Au voisinage de $x$, la fonction $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}$ est alors de la forme $\max_{i}(\mathopen{|}{a_{i}}\mathclose{|}^{-1})$, où les $a_{i}$ appartiennent à $\mathscr{O}_{X,x}^{\times}$, et où $\widetilde{a_{i}(x)/a_{j}(x)}\in\tilde{k}(V)$ pour tout couple $(i,j)$. Si $x\notin S$, la dimension de $V$ est strictement inférieure à $n$ et la dimension tropicale en $x$ de la famille $(a_{i})$ est strictement inférieure à $n$. D’après la proposition 6.8.3, la mesure $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est nulle au voisinage de $x$. En particulier, le support de $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est contenu dans $S$ et $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est une mesure de support fini, d’où la proposition. ∎

On reprend la réduction et les notations de la preuve de la proposition 6.9.2. Il s’agit donc de démontrer que

On remarque que cette formule à prouver est vraie si $\dim(V)<n$ : dans ce cas, le membre de gauche est nul d’après ce qui précède, et le membre de droite est nul par théorie de l’intersection. Dans toute la suite, on suppose que le prémodèle $V$ est un modèle, de sorte que $\dim(V)=n$ et que $\tilde{k}(V)=\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$. Fixons un voisinage ouvert $U$ de $x$ tel que $U\cap S=\{x\}$. Il résulte du cas $\dim V<n$ déjà traité que le support de $c_{1}(\bar{L})^{n}|_{U}$ est contenu dans $\{x\}$  ; par conséquent, $c_{1}(\bar{L})^{n}|_{U}=\lambda_{x}\delta_{x}$.

D’après la proposition 3.4.4, il existe un voisinage affinoïde $W$ de $x$ dans $U$ et un moment $f\colon W\rightarrow T$ tel que :

• —

  $f$ tropicalise les $\alpha_{i}$  ;

• —

  $f_{\text{trop}}(x)\notin f_{\text{trop}}(\partial W)$.

Il résulte de la prop. 6.8.3 que $\lambda_{x}$ ne dépend que du cône calibré $C_{x}$ de $f_{\text{trop}}(W)$ en $f_{\text{trop}}(x)$ et de la fonction affine sur $f_{\text{trop}}(W)$ induisant $\max(\mathopen{|}{a_{i}}\mathclose{|}^{-1})$.

La formule (6.9.3.1) étant maintenant démontrée lorsque le corps $k$ est algébriquement clos, il reste à expliquer comment en déduire le cas général.

On suppose maintenant simplement que le corps $k$ est stable. L’espace $X$ est toujours génériquement lisse, donc lisse au voisinage de $x$  ; on peut donc le supposer lisse.

On peut supposer que $k$ est séparablement clos dans ${\mathscr{H}}(x)$. Soit $F$ la fermeture séparable de $k$ dans $\kappa(x)$.

Le caractère hensélien de $\mathscr{O}_{X,x}$ permet de restreindre $X$ de sorte que $F\hookrightarrow\mathscr{O}_{X}(X)$. Le morphisme $X\to\mathscr{M}(k)$ se factorise alors par $\mathscr{M}(F)$. Si $\omega$ est une $(n,n)$-forme sur $X$, on a $\int_{X\to\mathscr{M}(k)}\omega=[F:k]^{n}\int_{X\to\mathscr{M}(F)}\omega$ (cela provient de la définition de l’intégrale, et du fait que $(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{F}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ est de degré $[F:k]$)  ; par conséquent, $\bigwedge\limits^{n}c_{1}(\mathsf{L})$ est divisé par $[F:k]^{n}$ si l’on considère $X$ comme un espace $F$-analytique.

On a par ailleurs

et $\int_{\widetilde{(X,x)}}\bigwedge\limits^{n}c_{1}(\tilde{\mathsf{L}}(x))$ est divisé par $[\tilde{F}:\tilde{k}]$ si l’on voit $\widetilde{(X,x)}$ comme espace de Zariski-Riemann sur $\tilde{F}$.

En vertu de la stabilité de $k$,

Au vu de ce qui précède, ceci entraîne qu’on peut, quitte à remplacer $k$ par $F$, supposer que $F=k$. On choisit une clôture algébrique $k^{a}$ de $k$. Pour tout sous-corps complet $F$ de $\widehat{k^{a}}$ contenant $k$, on note $x_{F}$ l’unique antécédent de $x$ sur $X_{F}$.

Le cas où $\mathopen{|}{k^{\times}}\mathclose{|}=\{1\}$. On a alors $\mathopen{|}{{\mathscr{H}}(x)^{\times}}\mathclose{|}=\{1\}$, et donc ${\mathscr{H}}(x)=\kappa(x)=\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$. L’espace $X$ étant lisse, $\mathscr{O}_{X,x}=\kappa(x)$, et ce dernier reste réduit après tensorisation par n’importe quelle extension finie $F$ de $k$ (puisque $X_{F}$ est lisse, et a fortiori réduit).

Il s’ensuit que ${\mathscr{H}}(x_{k^{a}})=\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}\otimes_{k}k^{a}$. Tous ces corps sont trivialement valués, et coïncident donc avec leurs corps résiduels. De ce fait,

ce qui termine la preuve dans le cas trivialement valué.

Le cas où $\mathopen{|}{k^{\times}}\mathclose{|}\neq\{1\}$. En relevant une base de transcendance du corps résiduel $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$, on définit un morphisme fini d’un voisinage strictement affinoïde $W$ de $x$ vers un voisinage strictement affinoïde du point de Gauß dans $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$. Si $D$ désigne le polydisque unité de dimension $n$, le produit fibré $W^{\prime}:=W\times_{\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}}D$ est un domaine strictement affinoïde de $X$ contenant $x$ dans son bord de Shilov. Il est quasi-lisse, et a fortiori géométriquement réduit. Il en résulte l’existence d’une extension finie séparable $F$ de $k$ telle que $W^{\prime}_{F}$ soit distingué et tel que la réduction canonique $\widetilde{W^{\prime}_{F}}$ soit à composantes irréductibles géométriquement intègres. On a alors

et $|{\mathscr{H}}(x_{F})^{\times}|=|F^{\times}|$. Par conséquent, la formule souhaitée est vraie sur le corps $F$.

On a

Les corps $F$ et ${\mathscr{H}}(x)$ sont stables. Dès lors :

car $[{\mathscr{H}}(x_{F}):{\mathscr{H}}(x)]=[F:k]$ puisque $F$ est séparable sur $k$ et puisque $x_{F}$ est l’unique antécédent de $x$ sur $X_{F}$. Comme $|{\mathscr{H}}(x_{F})^{\times}|=|F^{\times}|$ par choix de $F$, l’expression ci-dessus est égale à $[|{\mathscr{H}}(x)^{\times}|:|k^{\times}|]$, ce qui achève la preuve. ∎

Notons $\rho$ l’application de réduction de $X$ dans $\mathfrak{X}$. La question est locale sur $\mathfrak{X}$, ce qui autorise à le supposer affine, donc de la forme $\operatorname{Spf}(\mathfrak{A})$ où $\mathfrak{A}$ est une $k^{\circ}$-algèbre plate topologiquement de présentation finie intégralement close dans $\mathfrak{A}\otimes_{k^{\circ}}k$. On peut également supposer que $\mathfrak{X}$ est équidimensionnel  ; soit $d$ sa dimension. L’espace affinoïde $\mathfrak{X}_{\eta}$ est alors équidimensionnel et de dimension $d$. Comme il est réduit, son lieu de non-normalité $Y$ est de dimension strictement inférieure à $d$. Le corps $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$ étant de degré de transcendance $d$ sur $\tilde{k}$, le fermé de Zariski $Y$ de $X$ ne contient pas $x$. Son image $\rho(Y)$ évite donc $\xi$. Comme elle est constructible (et même fermée), quitte à restreindre encore $\mathfrak{X}$, on peut supposer que $\mathfrak{X}_{\eta}$ est intègre et normal. Puisque $\mathfrak{A}$ est intégralement close dans $\mathfrak{A}\otimes_{k^{\circ}}k$, l’algèbre intègre $\mathfrak{A}$ est normale. Soit $\mathfrak{K}$ son corps des fractions.

Le schéma $\mathfrak{X}_{\tilde{k}}$ s’identifie à $\operatorname{Spec}(\mathfrak{A}\otimes_{k^{\circ}}\tilde{k})$  ; le point $\xi$ correspond par ce biais à un point de $\operatorname{Spec}(\mathfrak{A})$ que l’on note encore $\xi$ et qui est de hauteur 1 dans le schéma noethérien normal $\operatorname{Spec}(\mathfrak{A})$. L’anneau local $\mathscr{O}_{\operatorname{Spec}(\mathfrak{A},\xi)}$ est donc l’anneau d’une valuation discrète $v$ de $\mathfrak{K}$ qui prolonge la valuation de $k^{\circ}$, normalisée pour que $v(\mathfrak{K}^{\times})=\mathbf{Z}$. Soit $\pi$ une uniformisante de $k^{\circ}$ et soit $e$ l’entier $v(\pi)$. La longueur de $\mathscr{O}_{\mathfrak{X}_{\tilde{k}},\xi}$ est égale à celle de $\mathscr{O}_{\operatorname{Spec}(\mathfrak{A}),\xi}/\pi$, et donc à $e$.

Soit $\varphi\colon\mathfrak{K}\to\mathbf{R}_{+}$ l’application qui envoie $0$ sur $0$ et $a$ sur $\mathopen{|}{\pi}\mathclose{|}^{v(a)/e}$ si $a\neq 0$. C’est une valeur absolue dont la restriction à $k$ coïncide avec la valeur absolue de ce dernier, et qui est bornée par $1$ sur $\mathfrak{A}$. Elle définit donc un point $x^{\prime}$ de $\mathscr{M}(\mathsf{A}\otimes_{k^{\circ}}k)$. Si $a\in\mathfrak{A}$ on a par construction $a(\xi)=0$ si et seulement si $\varphi(a)<1$, ce qui signifie que $\rho(x^{\prime})=\xi$  ; par conséquent, $x^{\prime}=x$.

Par construction, $(\mathfrak{K},\varphi)$ est un sous-corps valué dense de ${\mathscr{H}}(x)$. Le corps résiduel de ${\mathscr{H}}(x)$ est dès lors égal à celui de $(\mathfrak{K},\varphi)$, c’est-à-dire à celui de $v$ et donc à $\kappa(\xi)$  ; et son groupe des valeurs n’est autre que $\varphi(\mathfrak{K}^{\times})=\mathopen{|}{\pi}\mathclose{|}^{(1/e)\mathbf{Z}}$. Par conséquent, $[\mathopen{|}{{\mathscr{H}}(x)^{\times}}\mathclose{|}:\mathopen{|}{k^{\times}}\mathclose{|}]=e$, ce qui achève la démonstration. ∎