On a l’égalité

$$\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sup_{Y}\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},$$

où $Y$ parcourt l’ensemble des domaines analytiques compacts de $X$.

On sait en effet par ce qui précède que

$$\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\geq\sup_{Y}\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}.$$

Soit $\alpha<\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$.

Donnons-nous un atlas intégral $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})$ sur $X$ adapté à $\omega$.

Il existe un ensemble fini $I$ d’indices tel que $\sum_{i}\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}>\alpha$. Soit $Y$ la réunion des $Y_{i}$ pour $i\in I$. C’est un domaine analytique compact de $X$.

En calculant $\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ au moyen de l’atlas $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})|_{Y}$, on voit que $\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\geq\sum_{i}\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}>\alpha$, d’où notre assertion.