Soit $X$ un espace $k$-analytique (bon et topologiquement séparé) purement de dimension $n$. Soit $\alpha$ une $(n,n)$-forme dont la restriction à $\operatorname{Int}(X)$ est nulle. Supposons que $\partial(X)$ soit d’intérieur vide. Alors, $\alpha=0$.

Soit $x$ un point de $X$ ; démontrons que $\alpha$ est nulle au voisinage de $x$. C’est vrai par hypothèse si $x\in\operatorname{Int}(X)$ ; supposons donc que $x\in\partial(X)$. Soit $W$ un voisinage de $x$ qui est un domaine analytique compact de $X$, soit $f\colon W\rightarrow T$ un moment et soit $\omega$ une $(n,n)$-forme sur $f_{\text{trop}}(W)$ telle que $\alpha=f^{*}\omega$. Comme $x$ appartient au support de $\alpha$, $f_{\text{trop}}(x)$ appartient au support de $\omega$ et $\omega$ est une $(n,n)$-forme non nulle au voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$. Par suite, $f_{\text{trop}}(W)$ est de dimension $n$ au voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$. En outre, comme $\partial(X)\cap W\subset\partial(W)$, $f_{\text{trop}}(\partial(X)\cap W)$ est contenu dans un polytope de dimension $\leq n-1$, donc est d’intérieur vide dans les faces de dimension $n$. Il en résulte qu’au voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$, la restriction de $\omega$ à chacune des faces de dimension $n$ de $f_{\text{trop}}(W)$ est nulle. Par suite, $\omega$ est nulle au voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ et $\alpha$ est nulle au voisinage de $x$.