Soit $L$ un fibré en droites sur $X$. Comme $X$ est bon, il existe un recouvrement $(U_{i})$ un recouvrement de $X$ par des ouverts sur lesquels $L$ est trivialisable. Soit $(\lambda_{i})$ une partition de l’unité lisse subordonnée au recouvrement ouvert $(U_{i})$. Pour tout $i$, soit $s_{i}$ une section inversible de $L|_{U_{i}}$. Il existe une unique métrique sur $L$ pour laquelle,

$$\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}(x)=\sum_{i}\lambda_{i}(x)\log\mathopen{|}{s/s_{i}}\mathclose{|}(x)$$

pour tout ouvert $U$ de $X$ et toute section inversible $s$ de $L$ sur $U$, la somme étant réduite aux indices $i$ tels que $x\in U_{i}$. Pour une telle section $s$, la fonction $\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ est lisse, si bien que la métrique ainsi définie sur $L$ est lisse. ∎