Soit $X$ un espace $k$-analytique compact de dimension $d$, soit $T$ un tore de dimension $d$, et soit $f\colon X\to T$ un morphisme. Soit $t\in S(T)$.

La fibre $f^{-1}(t)$ est finie et purement de dimension nulle. En effet, soit $x\in f^{-1}(t)$. On a $d\geq d_{k}(x)\geq d_{k}(t)=d$. Par conséquent, $d_{k}(x)=d_{k}(t)=d$, ce qui entraîne que $d_{{\mathscr{H}}(t)}(x)=0$  ; ainsi, $f^{-1}(t)$ est purement de dimension nulle. C’est alors un sous-ensemble fermé et discret, et partant fini, du compact $X$.

Supposons que $f^{-1}(t)\cap\partial X=\emptyset$. Le morphisme $f$ est alors fini et plat au-dessus de $t$. En effet, soit $x\in f^{-1}(t)$. Comme $f$ est de dimension nulle et sans bord en $x$, elle est finie en $x$ ([8], cor. 3.1.10). Il existe donc un voisinage affinoïde $V_{x}$ de $x$ dans $X$ et un voisinage affinoïde $W_{x}$ de $t$ dans $T$ tels que $f$ induise un morphisme fini $V_{x}\to W_{x}$  ; quitte à restreindre $V_{x}$, on peut supposer qu’il ne rencontre pas les antécédents de $t$ autres que $x$. Posons $W=\bigcap_{x\in f^{-1}(t)}W_{x}$. Par construction, $W$ est un voisinage affinoïde de $t$ dans $T$ tel que $f^{-1}(W)\to W$ soit fini.

Par ailleurs, l’anneau local $\mathscr{O}_{T,t}$ est un corps (cf. par exemple [31], 0.19)  ; il s’ensuit que $f$ est fini et plat au-dessus de $t$, comme annoncé.

Soit $\Sigma$ l’image réciproque de $S(T)$ par $f$. Comme $f_{\text{trop}}(\partial X)$ est contenu dans un polytope de $T_{\text{trop}}$ de dimension au plus $d-1$, le compact $f(\partial X\cap\Sigma)$ est contenu dans un polytope $\Delta$ de $S(T)$ de dimension au plus $d-1$.

Pour tout $t\in S(T)\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}\Delta$ l’application $f$ est finie et plate au-dessus de $t$ en vertu de ce qui précède, puisque $f^{-1}(t)$ est contenu dans $X-\partial X$. Autrement dit, $f$ est fini et plat au-dessus de $S(T)\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}\Delta$.