Soit $u\colon V\rightarrow W$ une application affine, soit $P$ un polytope de $V$ de dimension $\leq n$, et soit $Q$ son image dans $W$. Soit $\mathscr{C}$ une décomposition cellulaire de $P$, assez fine pour que son image $\mathscr{D}$ par $u$ soit une décomposition cellulaire de $Q$. Soit $\mu$ un calibrage de $P$ subordonné à la décomposition $\mathscr{C}$. On définit comme suit un calibrage $u_{*}\mu$ de $Q$ subordonné à la décomposition $\mathscr{D}$. Soit $D\in\mathscr{D}_{n}$. Soit $\mathscr{C}_{D}$ l’ensemble des $n$-cellules de $\mathscr{C}$ qui s’envoient sur $D$  ; l’application $u$ induit pour tout $C\in\mathscr{C}_{D}$ un homéomorphisme $C\simeq D$ et une bijection affine $\langle C\rangle\simeq\langle D\rangle$.

Fixons une orientation $o$ de $\overrightarrow{\langle D\rangle.}$ Elle induit une orientation $o_{C}$ de $\overrightarrow{\langle C\rangle}$ pour toute cellule $C\in\mathscr{D}$.

Pour tout $C\in\mathscr{C}_{D}$, il existe un unique $v_{C}\in\Lambda^{n}\overrightarrow{\langle C\rangle}$ tel que $\mu_{C}$ soit égal à la classe de $(o_{C},v_{C})$  ; soit $w_{C}$ son image dans $\Lambda^{n}\overrightarrow{\langle D\rangle}$. Le couple $(o,\sum_{C\in\mathscr{C}_{D}}w_{C})$ définit un vecteur-volume $\nu_{D}$ sur l’espace $\overrightarrow{\langle D\rangle}$.

On pose $u_{*}\mu=(\nu_{D})_{D\in\mathscr{D}_{n}}$.

Soit $\omega$ une forme à coefficients mesurables de type $(n,n)$ (resp. $(n-1,n)$) sur un ouvert $U$ de $Q$. La forme $u^{*}\omega$ est intégrable si et seulement si $\omega$ est intégrable : cela provient du fait que si $C$ est une cellule de dimension $n$ (resp. $n-1$) contenue dans $P$ (on ne demande pas que $C\in\mathscr{C}$) et si $u_{|C}$ n’est pas injective, la restriction de $u^{*}\omega$ à $\langle C\rangle\cap U$ est nulle, parce qu’elle provient d’un espace affine de dimension $<n$ (resp. $<n-1$).

Lorsque $\omega$ est intégrable, on a les égalités

$$\int_{u^{-1}(U)}\langle u^{*}\omega,\mu\rangle=\int_{U}\langle\omega,u_{*}(\mu)\rangle,\quad\text{et}\quad\int_{u^{-1}(U)}\langle u^{*}\omega,\partial\mu\rangle=\int_{U}\langle\omega,\partial u_{*}(\mu)\rangle.$$