Soit $X$ un espace $k$-analytique et soit $x\in X$ tel que $\mathscr{O}_{X,x}$ soit d’image dense dans ${\mathscr{H}}(x)$. Soit $(Y,x)$ un domaine analytique de $(X,x)$ relativement strict. Soit $n\geq 0$.

A) Soit $\mathsf{A}$ un ensemble fini et soit $(\gamma_{\alpha,\beta})_{(\alpha,\beta)\in\mathsf{A}^{2}}$ une famille d’éléments de $\operatorname{GL}_{n}(\widetilde{{\mathscr{H}}(x)})$ satisfaisant les relations de cocycle. Fixons $\alpha_{0}$, et choisissons pour tout $\beta$ un relèvement $g_{\alpha_{0},\beta}$ de $\gamma_{\alpha_{0},\beta}$ dans $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$. La famille $(g_{\alpha_{0},\beta})_{\beta}$ se prolonge d’une unique manière en une famille $(g_{\alpha,\beta})_{\alpha,\beta}$ qui satisfait les relations de cocycles. Par construction, celle-ci relève $(\gamma_{\alpha,\beta})$. Pour tout $(\alpha,\beta)$, la matrice $g_{\alpha,\beta}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}^{\circ}(Y,x)$ si et seulement si $\gamma_{\beta,\alpha}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}\widetilde{(Y,x)}$.

B) Soit $(g^{\prime}_{\alpha,\beta})$ un cocycle à coefficients dans $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ se réduisant en un cocycle $(\gamma^{\prime}_{\alpha,\beta})$ d’éléments de $\operatorname{GL}_{n}(\widetilde{{\mathscr{H}}(x)})$. Supposons que $(\gamma^{\prime}_{\alpha,\beta})$ est cohomologue à $(\gamma_{\alpha,\beta})$ via une cochaîne $(\delta_{\alpha})$. Fixons $\alpha_{0}$, et choisissons $d_{\alpha_{0}}\in\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ qui relève $\delta_{\alpha_{0}}$, et posons $d_{\beta}=g_{\alpha_{0},\beta}^{-1}d_{\alpha_{0}}g^{\prime}_{\alpha_{0},\beta}$  ; la cochaîne $(d_{\alpha})$ relève alors $(\delta_{\alpha})$, et les cocycles $(g_{\alpha,\beta})$ et $(g^{\prime}_{\alpha,\beta})$ sont cohomologues via $(\delta_{\alpha})$. Pour tout $\alpha$, la matrice $d_{\alpha}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}^{\circ}(Y,x)$ si et seulement si $\delta_{\alpha}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}\widetilde{(Y,x)}$.

C) Soit $(v_{\alpha})$ une cochaîne à coefficients dans $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$ telle que $v_{\beta}=\gamma_{\alpha,\beta}g_{\alpha}$ pour tout $(\alpha,\beta)$. Fixons $\alpha_{0}$, choisissons un relevé $w_{\alpha_{0}}$ de $v_{\alpha_{0}}$ dans $(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})^{n}$, et posons $w_{\beta}=g_{\alpha_{0},\beta}v_{\alpha_{0}}$ pour tout $\beta$  ; la cochaîne $(w_{\alpha})$ relève alors $(v_{\alpha})$ et l’on a $w_{\beta}=g_{\alpha,\beta}w_{\alpha}$ pour tout $(\alpha,\beta)$. Pour tout $\alpha$, le vecteur $w_{\alpha}$ appartient à $\mathscr{O}_{X}^{\circ}(Y,x)^{n}$ si et seulement si $v_{\alpha}$ appartient à $\mathscr{O}_{\widetilde{(X,x)}}\widetilde{(Y,x)}^{n}$.