La somme directe $\mathscr{A}_{V}^{*,*}(U)=\bigoplus\mathscr{A}_{V}^{p,q}(U)$ est naturellement munie d’une structure d’algèbre graduée sur l’anneau $\mathscr{A}_{V}(U)$ obéissant à la règle de commutativité suivante : si $\omega$ est de type $(p,q)$ et $\omega^{\prime}$ de type $(p^{\prime},q^{\prime})$, alors

$$\omega^{\prime}\wedge\omega=(-1)^{pp^{\prime}+qq^{\prime}}\omega\wedge\omega^{\prime}.$$

Ainsi, la forme $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\otimes\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$ sera plutôt notée $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$.

Cette structure d’algèbre induit une structure de $\mathscr{A}_{V}(U)$-module gradué sur $\mathscr{F}_{V}^{*,*}(U)$ ; lorsque la classe $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, elle induit aussi une structure de $\mathscr{F}_{V}(U)$-algèbre graduée.