Dans ce texte, la notion d’espace $k$-analytique sera à prendre au sens de Berkovich, et plus précisément de [8]  ; notons que les espaces définis dans [7] sont ceux qui sont qualifiés de bons dans [8], c’est-à-dire ceux dont tout point admet un voisinage affinoïde, et donc une base de voisinages affinoïdes.

Soit $X$ un espace $k$-analytique.

Pour tout $x\in X$, on note ${\mathscr{H}}(x)$ le corps résiduel complété de $x$. On note $\mathscr{O}_{X,x}$ l’anneau local de $X$ en $x$  ; lorsque $X$ est bon, il est noethérien ([8], th. 2.1.4), hensélien ([8], th. 2.1.5) et excellent ([29], th. 2.13).

On pose $d_{k}(x)=\text{deg. tr.}(\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k})+\dim_{\mathbf{Q}}\left(\mathbf{Q}\otimes_{\mathbf{Z}}(|{\mathscr{H}}(x)^{\times}|/|k^{\times}|)\right).$

On a l’égalité $\dim X=\sup_{x\in X}d_{k}(x)$ (cf. [28], 1.14).

Soit $(X,x)$ un germe d’espace $k$-analytique. La dimension centrale $\dim_{\rm cent}(X,x)$ de $(X,x)$ est le minimum, pour $V$ voisinage analytique de $x$ dans $X$, de la dimension de l’adhérence de Zariski de $x$ dans $V$. Elle est majorée par $d_{k}(x)$ en vertu de ce qui précède.

Lorsque $(X,x)$ est bon, on a d’après le corollaire 1.12 de [30] l’égalité

$$\dim_{\rm cent}(X,x)+\dim_{\rm Krull}\mathscr{O}_{X,x}=\dim_{x}X.$$

Soit $f\colon Y\to X$ un morphisme d’espaces $k$-analytiques qui est topologiquement propre, et soit $x$ un point de $X$ dont la fibre est de dimension nulle et ne rencontre pas $\partial f$. La fibre $f^{-1}(x)$ étant compacte et de dimension nulle, elle est ensemblistement finie. Soit $y\in f^{-1}(x)$. Comme $f$ est de dimension nulle et sans bord en $y$, elle est finie en $x$ ([8], cor. 3.1.10). Il existe donc un voisinage analytique compact $W_{y}$ de $y$ dans $Y$ et un voisinage analytique compact $V_{y}$ de $x$ dans $X$ tels que $f$ induise un morphisme fini $W_{y}\to V_{y}$  ; quitte à restreindre $V_{y}$, on peut supposer qu’il ne rencontre pas les antécédents de $x$ autres que $y$. Posons $W=\bigcap_{y\in f^{-1}(x)}W_{y}$. Par construction, $W$ est un voisinage analytique compact de $x$ dans $X$ tel que $f^{-1}(W)\to W$ soit fini.

Rappelons ([21], chap. 1, §9, n^o 10, définition 6, p. 69) qu’un espace topologique $X$ est dit paracompact s’il est séparé et si tout recouvrement ouvert possède un raffinement qui est localement fini. Un espace compact est paracompact. Une partie fermée d’un espace paracompact est paracompacte.

Un espace localement compact est dit dénombrable à l’infini s’il est réunion dénombrable d’ensembles compacts ; un espace localement compact dénombrable à l’infini est paracompact. Plus généralement, un espace topologique localement compact est paracompact si et seulement si c’est l’espace somme d’une famille d’espaces localement compacts dénombrables à l’infini (loc. cit., théorème 5, p. 70).

Soit $X$ un espace topologique et soit $F$ une partie fermée de $X$. Nous dirons que $F$ est fortement paracompacte dans $X$ si elle possède un voisinage ouvert et paracompact dans $X$. Si $X$ est paracompact, toute partie fermée est évidemment fortement paracompacte.

Toute partie fermée d’un espace topologique $X$ qui est fortement paracompacte dans $X$ est paracompacte. Dans l’autre sens, notons le lemme suivant.

Dans ce travail, le groupe multiplicatif et ses puissances jouent un rôle fondamental. Rappelons que l’anneau des fonctions algébriques sur l’espace $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ est l’anneau $A=k[T_{1}^{\pm 1},\dots,T_{n}^{\pm 1}]$ des polynômes de Laurent à coefficients dans $k$ en des indéterminées $T_{1},\dots,T_{n}$. Le groupe analytique $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$, au sens de Berkovich, est l’ensemble des semi-normes multiplicatives sur cet anneau qui étendent la valeur absolue de $k$. Pour éviter le recours à un choix explicite de coordonnées, nous adopterons la convention suivante : nous appellerons tore (de dimension $n$) tout groupe analytique isomorphe à une puissance $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ du groupe multiplicatif  ; nos tores sont donc implicitement supposés déployés.

Rappelons que toute fonction analytique inversible sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ est algébrique et, plus précisément, est même un monôme, c’est-à-dire de la forme $aT_{1}^{m_{1}}\dots T_{n}^{m_{n}}$, où $a\in k^{*}$ et $(m_{1},\dots,m_{n})\in\mathbf{Z}^{n}$ est un vecteur appelé exposant. (En dimension 1, cet énoncé est le lemme 9.7.1/1 de [14], le cas général en découle par récurrence.)

Le morphisme $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}$ induit par une telle fonction est un homomorphisme de groupes analytiques si et seulement si $a=1$.

Soit $T$ un tore. L’ensemble $\mathsf{X}(T)$ des caractères de $T$, c’est-à-dire des morphismes de groupes analytiques de $T$ vers $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}$, est un groupe abélien.

On déduit de ce qui précède que tout isomorphisme de $T$ avec $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ induit un isomorphisme de $\mathsf{X}(T)$ avec $\mathbf{Z}^{n}$  ; on en déduit aussi que si $T$ et $T^{\prime}$ sont deux tores, tout morphisme d’espace $k$-analytique de $T$ vers $T^{\prime}$ est affine, i.e. composé d’un morphisme de groupes analytiques et d’une translation  ; c’est donc un morphisme de groupes si et seulement si il envoie l’origine de $T$ sur l’origine de $T^{\prime}$. Pour cette raison, lorsque nous évoquerons un morphisme entre tores qui n’est pas nécessairement un morphisme de groupes, nous le qualifierons de morphisme affine.

On considère le groupe abélien $\mathbf{R}_{+}^{\times}$ comme un $\mathbf{R}$-espace vectoriel, via l’exponentiation coordonnée par coordonnée  ; le choix d’une base de logarithmes permet d’ailleurs de l’identifier à l’espace $\mathbf{R}$.

Soit $T$ un tore. Nous noterons $T_{\text{trop}}$ le $\mathbf{R}$-espace vectoriel $\operatorname{Hom}(\mathsf{X}(T),\mathbf{R}^{\times}_{+})$, que l’on peut identifier à $(\mathbf{R}^{\times}_{+})^{n}$ une fois choisie une trivialisation de $T$, ou à $\mathbf{R}^{n}$ si l’on fixe en plus une base de logarithmes. L’espace vectoriel $T_{\text{trop}}$ est appelé tropicalisation du tore $T$.

Étant donné un point $t$ de $T$, l’application qui applique un caractère $\varphi\in\mathsf{X}(T)$ sur l’élément $\mathopen{|}{\varphi(t)}\mathclose{|}$ est un élément de $T_{\text{trop}}$ noté ${\text{trop}}(t)$. L’application ${\text{trop}}\colon T\rightarrow T_{\text{trop}}$ ainsi définie est continue.

La formation de $T_{\text{trop}}$ est fonctorielle : tout morphisme affine $f\colon T\to T^{\prime}$ entre tores induit une application affine $f_{\text{trop}}\colon T_{\text{trop}}\to T^{\prime}_{\text{trop}}$ telle que le diagramme

commute.

L’application de tropicalisation $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}\to(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\text{trop}}$ possède une section continue naturelle $(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\text{trop}}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$, définie comme suit : elle envoie un point $r=(r_{1},\dots,r_{n})\in(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\text{trop}}=(\mathbf{R}+^{\times})^{n}$ sur le point $\eta_{r}$ de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ défini par la semi-norme qui applique le polynôme de Laurent

$$f=\sum_{m\in\mathbf{Z}^{n}}a_{m}T_{1}^{m_{1}}\dots T_{n}^{m_{n}}$$

sur

$$\max_{m\in\mathbf{Z}^{n}}\mathopen{|}{a_{m}}\mathclose{|}r_{1}^{m_{1}}\dots r_{n}^{m_{n}}.$$

Son image est appelée squelette de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ et est notée $S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$.

Canonicité du squelette. On peut caractériser $S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$ comme l’ensemble des points de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ maximaux pour la relation $\leq$ définie comme suit : $x\leq y$ si et seulement si $\mathopen{|}{f(x)}\mathclose{|}\leq\mathopen{|}{f(y)}\mathclose{|}$ pour toute fonction analytique $f$ sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$.

En effet, soit $x\in\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$. Pour tout $i$, on pose $r_{i}=T_{i}(x)$, et l’on note $r$ le $n$-uplet $(r_{1},\ldots,r_{n})$. Soit $f=\sum_{m\in\mathbf{Z}^{n}}a_{m}T_{1}^{m_{1}}\dots T_{n}^{m_{n}}$ une fonction analytique sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$. On a

$$|f(x)|\leq\max_{m\in\mathbf{Z}^{n}}\mathopen{|}{a_{m}}\mathclose{|}r_{1}^{m_{1}}\dots r_{n}^{m_{n}}=\mathopen{|}{f(\eta_{r})}\mathclose{|}.$$

En conséquence, $x\leq\eta_{r}$  ; en particulier, si $x$ est maximal alors $x=\eta_{r}$.

Ainsi, tout point maximal appartient à $S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$. Réciproquement, soit $r\in(\mathbf{R}^{\times}_{+})^{n}$ et soit $x\geq\eta_{r}$. Pour tout $i$, on pose $s_{i}=|T_{i}(x)|$, et l’on note $s$ le $n$-uplet $(s_{1},\ldots,s_{n})$. Par ce qui précède, $x\leq\eta_{s}$  ; a fortiori, $\eta_{r}\leq\eta_{s}$. En appliquant cette inégalité à $T_{i}$ et $T_{i}^{-1}$ pour tout $i$, il vient $r=s$. Ainsi $\eta_{r}\leq x\leq\eta_{r}$ et $x=\eta_{r}$. Par conséquent, $\eta_{r}$ est maximal.

On en déduit que si $\sigma$ est un automorphisme d’espace analytique de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ alors $\sigma(S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}))=S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$. Notons qu’il n’y a pas besoin de supposer que $\sigma$ agit non trivialement sur le corps $k$, il peut par exemple provenir d’une action galoisienne.

Soit $T$ un tore et soit $f\colon\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}\to T$ un isomorphisme. En vertu de ce qui précède, le fermé $f(S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}))$ de $T$ ne dépend pas de $f$.

On l’appelle le squelette de $T$ et on le note $S(T)$. L’application naturelle $T\to T_{\text{trop}}$ induct un homéomorphisme $S(T)\simeq T_{\text{trop}}$. Si $P$ est un sous-ensemble de $T_{\text{trop}}$, on notera $P_{\mathrm{sq}}$ le sous-ensemble de $S(T)$ qui lui correspond via cet homéomorphisme.

Soit $f\colon X\to T$ un moment sur un espace $k$-analytique $X$. On désignera par $f_{\text{trop}}\colon X\rightarrow T_{\text{trop}}$ l’application composée $X\to T\to T_{\text{trop}}$. On dira que l’application $f_{\text{trop}}$ est la tropicalisation de $f$  ; c’est une application continue.

Soit $T$ et $T^{\prime}$ deux tores. Les $\mathbf{R}$-espace vectoriels $T_{\text{trop}}$ et $T^{\prime}_{\text{trop}}$ sont égaux respectivement à $\operatorname{Hom}(\mathsf{X}(T),\mathbf{R}^{\times}_{+})$ et $\operatorname{Hom}(\mathsf{X}(T^{\prime}),\mathbf{R}^{\times}_{+})$.

On dispose par conséquent d’un isomorphisme naturel

$$\operatorname{Hom}_{\mathbf{R}-\text{lin}}(T_{\text{trop}},T^{\prime}_{\text{trop}})\simeq\operatorname{Hom}(\mathsf{X}^{\prime}(T),\mathsf{X}(T))\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{R}.$$

Notons que dans le cas particulier où $T^{\prime}=\mathbf{G}_{\mathrm{m}}$, on a $T^{\prime}_{\text{trop}}=\mathbf{R}^{\times}_{+}$ d’où un isomorphisme naturel

$$\operatorname{Hom}_{\mathbf{R}-\text{lin}}(T_{\text{trop}},\mathbf{R}^{\times}_{+})\simeq\mathsf{X}(T)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{R}.$$

Désormais, et sauf mention expresse du contraire :

• —

  une cellule de $T_{\text{trop}}$ sera toujours une cellule « à pentes rationnelles », c’est-à-dire définie comme une intersection de demi-espaces fermés décrits par des inégalités de la forme $\varphi\leq a$, où $\varphi\in\mathsf{X}(T)\subset\operatorname{Hom}_{\mathbf{R}-\text{lin}}(T_{\text{trop}},\mathbf{R}^{\times}_{+})$ et où $a\in\mathbf{R}^{\times}_{+}$  ;

• —

  un polytope de $T_{\text{trop}}$ sera toujours une union finie de cellules à pentes rationnelles, et une décomposition cellulaire d’un polytope de $T_{\text{trop}}$ sera toujours constituée de cellules à pentes rationnelles  ;

• —

  une application $T_{\text{trop}}\to T^{\prime}_{\text{trop}}$ sera dite affine si elle est composée d’une translation et d’une application appartenant à $\operatorname{Hom}(\mathsf{X}(T^{\prime}),\mathsf{X}(T))\otimes\mathbf{Q}$.

• —

  une application continue $f$ d’un polytope $P$ de $T_{\text{trop}}$ vers $T^{\prime}_{\text{trop}}$ sera dite linéaire par morceaux s’il existe une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $P$ telle que la restriction de $f$ à chaque cellule de $\mathscr{C}$ s’étende en une application affine de $T_{\text{trop}}$ vers $T^{\prime}_{\text{trop}}$.

Nous parlerons également à l’occasion de cellule et de polytope de $S(T)$, d’application affine de $S(T)$ vers $S(T^{\prime})$, et d’application linéaire par morceaux d’un polytope de $S(T)$ vers $S(T^{\prime})$ ou vers $T^{\prime}_{\text{trop}}$ : ces notions sont simplement déduites des notions correspondantes sur $T_{\text{trop}}$ et $T^{\prime}_{\text{trop}}$ via les homéomorphisme naturels $S(T)\simeq T_{\text{trop}}$ et $S(T^{\prime})\simeq S(T^{\prime})_{\text{trop}}$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique compact et soit $f:X\to T$ un moment  ; soit $n$ la dimension de $X$.

Le compact $f_{\text{trop}}(X)$ est alors un polytope de $T_{\text{trop}}$ de dimension $\leq n$  ; ce résultat a été établi par Berkovich dans le cas où $X$ est G-localement algébrisable, cf. [9], cor. 6.2.2. Pour le cas général, on pourra se reporter à [27], §3.30 ou à [31], th. 3.2.

Le théorème 3.2 de [31] assure également que $f_{\text{trop}}(\partial X)$ est contenu dans un polytope de dimension $\leq n-1$, et est lui-même un polytope de dimension $\leq n-1$ si $X$ est affinoïde.

Soit $X$ un espace $k$-analytique et soit $x$ un point de $X$. Soit $f\colon X\to T$ un moment  ; posons $\xi=f_{\text{trop}}(x)$, et notons $n$ la dimension de $T$.

En vertu du théorème 3.3 de [31], il existe un voisinage analytique compact $U$ de $x$ dans $X$ qui possède la propriété suivante : pour tout voisinage analytique compact $V$ de $x$ dans $U$, les germes de polytopes $(f_{\text{trop}}(U),\xi)$ et $(f_{\text{trop}}(V),\xi)$ coïncident. La dimension $d$ de $f_{\text{trop}}(U)$ en $\xi$ ne dépend pas du choix de $U$ et est appelée la dimension tropicale de $f$ en $x$.

Le théorème 3.3 de [31] affirme également que si $x\notin\partial X$ alors $f_{\text{trop}}(U)$ est purement de dimension $d$ en $\xi$ ; et que si de plus $d=n$ alors $f_{\text{trop}}(U)$ est un voisinage de $\xi$ dans $T_{\text{trop}}$.

Par ailleurs, il donne une majoration (dans le cas général) et une expression explicite (dans le cas sans bord) de l’entier $d$ en fonction d’invariants mettant en jeu le corps résiduel gradué de ${\mathscr{H}}(x)$ – c’est une notion introduite par Temkin dans [53] dont nous n’aurons pas besoin ici. À l’aide de [31], (0.12) et (0.13), il en découle notamment les faits suivants :

• —

  L’entier $d$ est majoré par $d_{k}(x)$  ;

• —

  Si $d=n$, alors $f(x)\in S(T)$  ;

• —

  Inversement, si $f(x)\in S(T)$ et si de plus $x\notin\partial X$, alors $d=n$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique de dimension $n$, et soit $f_{1}\colon X\to T_{1}$,…, $f_{m}\colon X\to T_{m}$ des moments sur $X$, où les tores $T_{i}$ sont tous de dimension $n$.

Soit $\Sigma$ la réunion des $f_{i}^{-1}(S(T_{i}))$. Il résulte du théorème 5.1 de [31] que $\Sigma$ possède une structure naturelle d’espace linéaire par morceaux, qui peut être définie uniquement à l’aide de la structure analytique de $X$, sans référence à l’écriture de $\Sigma$ comme réunion des $f_{i}^{-1}(S(T_{i}))$.

Nous n’allons pas dire ici précisément ce que nous entendons par espace linéaire par morceaux  ; nous renvoyons le lecteur intéressé au chapitre 1 de [9] ou au chapitre 0 de [31]. Indiquons simplement que si $Y$ est un domaine analytique compact de $X$, il existe un recouvrement de $\Sigma\cap Y$ par une famille finie $(P_{j})$ de compacts satisfaisant les conditions suivantes.

• —

  Pour tout $j$, il existe un moment $\varphi_{j}$ défini sur un domaine analytique de $Y$ contenant $P_{j}$, à valeurs dans $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N_{j}}$ pour un certain entier $N_{j}$, et tel que $\varphi_{j,{\text{trop}}}$ identifie $P_{j}$ à un polytope de ${\bf G}_{m,{\text{trop}}}^{N_{j}}$  ;

• —

  Pour tout $(j_{1},j_{2})$, l’intersection $P_{j_{1}}\cap P_{j_{2}}$ s’identifie via $\varphi_{j_{1},{\text{trop}}}$ à un polytope de ${\bf G}_{m,{\text{trop}}}^{N_{j_{1}}}$, et via $\varphi_{j_{2},{\text{trop}}}$ à un polytope de ${\bf G}_{m,{\text{trop}}}^{N_{j_{2}}}$  ;

• —

  Pour toute fonction analytique inversible $f$ sur $Y$ et tout indice $j$, l’application composée

  $$\varphi_{j,{\text{trop}}}(P_{j})\simeq P_{j}\stackrel{{\scriptstyle|f|}}{{\rightarrow}}\mathbf{R}^{\times}_{+}$$

  est linéaire par morceaux.

Soit $f\colon T\to T^{\prime}$ un morphisme affines et à fibres finies entre tores de même dimension $n$  ; en d’autres termes, $f$ est composée d’une isogénie et d’une translation. Le morphisme $f$ est fini, plat et surjectif, et l’application affine $f_{\text{trop}}$ est bijective.

Soit $x\in T$, soit $d$ la dimension tropicale de $\operatorname{id}_{T}$ en $x$, et soit $\delta$ la dimension tropicale de $\operatorname{id}_{T^{\prime}}$ en $f(x)$.

Soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$ dans $T$ tel que l’image $V_{\text{trop}}$ de $V$ dans $T_{\text{trop}}$ soit de dimension $d$. Le polytope $f_{\text{trop}}(V_{\text{trop}})$ est de dimension $d$, et coïncide avec $f(V)_{\text{trop}}$.

Comme $f$ est fini et plat, il est ouvert, et $f(V)$ est donc un voisinage de $f(x)$. La dimension de $f(V)_{\text{trop}}$ est par conséquent supérieure ou égale à $\delta$  ; ainsi, $d\geq\delta$.

Soit $W$ un voisinage affinoïde de $f(x)$ dans $T^{\prime}$ tel que $W_{\text{trop}}$ soit de dimension $\delta$. Comme $f$ est surjective, $f^{-1}(W)$ se surjecte sur $W$ et l’on a donc l’égalité$f_{\text{trop}}(f^{-1}(W)_{\text{trop}})=W_{\text{trop}}$  ; il s’ensuit que $f^{-1}(W)_{\text{trop}}$ est de dimension $\delta$. Comme c’est un voisinage de $x$, sa dimension est supérieure ou égale à $d$  ; on a ainsi $\delta\geq d$, d’où finalement l’égalité $d=\delta$.

Il en résulte que $d=n$ si et seulement si $\delta=n$, c’est-à-dire que $x\in S(T)$ si et seulement si $f(x)\in S(T^{\prime})$. Autrement dit, $S(T)=f^{-1}(S(T^{\prime}))$.

On dispose dès lors d’un diagramme commutatif

$$\vbox{\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 14.19275pt\hbox{\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\halign{\entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&\cr&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-13.85938pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{S(T)\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 13.85939pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 21.3854pt\raise 6.1111pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.75pt\hbox{$\scriptstyle{f}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 38.19275pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-8.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-24.68451pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 38.19275pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{S(T^{\prime})\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 53.45491pt\raise-8.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 53.45491pt\raise-24.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern-14.19275pt\raise-32.01782pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{T_{\text{trop}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 14.19275pt\raise-32.01782pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 14.8506pt\raise-25.60117pt\hbox{{}\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise-1.44444pt\hbox{$\scriptstyle{f_{\text{trop}}}$}}}\kern 3.0pt}}}}}}\ignorespaces{\hbox{\kern 39.26216pt\raise-32.01782pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 39.26216pt\raise-32.01782pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{T^{\prime}_{\text{trop}}}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces}}}}}.$$

Les flèches verticales et la flèche horizontale du bas étant une bijection affine, $f$ induit une bijection affine $S(T)\simeq S(T^{\prime})$.

Commençons par quelques conventions de vocabulaire. Soit $f\colon Y\to X$ un morphisme entre espaces $k$-analytiques et soit $x\in X$. On dira que $f$ est fini et plat au-dessus de $x$ s’il existe un voisinage analytique $V$ de $x$ tel que $f^{-1}(V)\to V$ soit fini et plat. On peut alors toujours choisir un tel $V$ connexe  ; le degré de $f^{-1}(V)\to V$ ne dépend dès lors pas du choix de $V$, et on l’appelle le degré de $f$ au-dessus de $x$. Il s’ensuit que l’ensemble des points de $X$ au-dessus desquels $f$ est fini et plat est un ouvert, sur lequel le degré est localement constant.

Soit $x\in X$ un point au-dessus duquel $f$ est fini et plat, et soit $V$ un voisinage analytique de $x$ dans $X$ tel que $f^{-1}(V)\to V$ soit fini et plat. Soit $U$ un ouvert de $X$ contenant $f^{-1}(x)$. Il existe un voisinage analytique $W$ de $x$ dans $V$ tel que $f^{-1}(W)\subset f^{-1}(V)\cap U$, par propreté topologique de $f^{-1}(V)\to V$  ; par conséquent, $f|_{U}$ est fini et plat au-dessus de $x$, de même degré que $Y\to X$.

Remarquons que $f$ est fini et plat de degré nul au-dessus de $x$ si et seulement si il existe un voisinage analytique $V$ de $x$ dans $X$ tel que $f^{-1}(V)=\emptyset$  ; c’est donc le cas si et seulement si $x\notin\overline{f(Y)}$.

Soit $\Sigma$ un sous-ensemble de $X$. On dira que $f$ est fini et plat au-dessus de $\Sigma$ s’il est fini et plat au-dessus de tout point de $\Sigma$. Si c’est le cas et si $\Sigma$ est connexe et non vide, le degré de $f$ au-dessus au-dessus d’un point $x$ de $\Sigma$ ne dépend pas de $x$ et sera appelé le degré de $f$ au-dessus de $\Sigma$.

Soit $U$ un ouvert de $X$ contenant $f^{-1}(\Sigma)$. En vertu de ce qui précède, si $f$ est fini et plat au-dessus de $\Sigma$, il en va de même de $f|_{U}$, et dans le cas où $\Sigma$ est en plus connexe et non vide, le degré de $f|_{U}$ au-dessus de $\Sigma$ est égal à celui de $f$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique compact de dimension $d$, soit $T$ un tore de dimension $d$, et soit $f\colon X\to T$ un morphisme. Soit $t\in S(T)$.

La fibre $f^{-1}(t)$ est finie et purement de dimension nulle. En effet, soit $x\in f^{-1}(t)$. On a $d\geq d_{k}(x)\geq d_{k}(t)=d$. Par conséquent, $d_{k}(x)=d_{k}(t)=d$, ce qui entraîne que $d_{{\mathscr{H}}(t)}(x)=0$  ; ainsi, $f^{-1}(t)$ est purement de dimension nulle. C’est alors un sous-ensemble fermé et discret, et partant fini, du compact $X$.

Supposons que $f^{-1}(t)\cap\partial X=\emptyset$. Le morphisme $f$ est alors fini et plat au-dessus de $t$. En effet, soit $x\in f^{-1}(t)$. Comme $f$ est de dimension nulle et sans bord en $x$, elle est finie en $x$ ([8], cor. 3.1.10). Il existe donc un voisinage affinoïde $V_{x}$ de $x$ dans $X$ et un voisinage affinoïde $W_{x}$ de $t$ dans $T$ tels que $f$ induise un morphisme fini $V_{x}\to W_{x}$  ; quitte à restreindre $V_{x}$, on peut supposer qu’il ne rencontre pas les antécédents de $t$ autres que $x$. Posons $W=\bigcap_{x\in f^{-1}(t)}W_{x}$. Par construction, $W$ est un voisinage affinoïde de $t$ dans $T$ tel que $f^{-1}(W)\to W$ soit fini.

Par ailleurs, l’anneau local $\mathscr{O}_{T,t}$ est un corps (cf. par exemple [31], 0.19)  ; il s’ensuit que $f$ est fini et plat au-dessus de $t$, comme annoncé.

Soit $\Sigma$ l’image réciproque de $S(T)$ par $f$. Comme $f_{\text{trop}}(\partial X)$ est contenu dans un polytope de $T_{\text{trop}}$ de dimension au plus $d-1$, le compact $f(\partial X\cap\Sigma)$ est contenu dans un polytope $\Delta$ de $S(T)$ de dimension au plus $d-1$.

Pour tout $t\in S(T)\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}\Delta$ l’application $f$ est finie et plate au-dessus de $t$ en vertu de ce qui précède, puisque $f^{-1}(t)$ est contenu dans $X-\partial X$. Autrement dit, $f$ est fini et plat au-dessus de $S(T)\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}\Delta$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique de dimension $d$, soit $T$ un tore de dimension quelconque et soit $T^{\prime}$ un tore de dimension $d$  ; on se donne un moment $f\colon X\to T$ et un morphisme affine surjectif $p\colon T\to T^{\prime}$. Comme $X$ est compact, $f_{\text{trop}}(X)$ est un polytope compact de $T_{\text{trop}}$ de dimension au plus $d$, et $f_{\text{trop}}(\partial X)$ est contenu dans un polytope compact de dimension au plus $d-1$.

Soit $Q$ un ouvert connexe et non vide de $T^{\prime}_{\text{trop}}$ contenu dans $(p\circ f)_{\text{trop}}(X)$ et ne rencontrant pas $(p\circ f)_{\text{trop}}(\partial X)$  ; remarquons qu’il existe une décomposition cellulaire de $(p\circ f)_{\text{trop}}(X)$ dont toutes les cellules ouvertes de dimension $d$ satisfont cette propriété. Soit $(P_{i})$ la famille des composantes connexes de $p_{\text{trop}}^{-1}(Q)$.

L’ouvert $Q$ ne rencontrant pas $(p\circ f)_{\text{trop}}(\partial X)$, l’ouvert $Q_{\mathrm{sq}}$ de $S(T^{\prime})$ ne rencontre pas $p\circ f(\partial X)$, et $p\circ f$ est dès lors fini et plat au-dessus de $Q_{\mathrm{sq}}$, qui est connexe et non vide. Soit $d$ le degré de $p\circ f$ au-dessus de $Q_{\mathrm{sq}}$.

L’ouvert $(p\circ f)_{\text{trop}}^{-1}(Q)$ de $X$ contient $(p\circ f)^{-1}(Q_{\mathrm{sq}})$  ; il est donc fini et plat de degré $d$ au-dessus de $Q_{\mathrm{sq}}$.

On a $p_{\text{trop}}^{-1}(Q)=\coprod P_{i}$  ; il vient $(p\circ f)_{\text{trop}}^{-1}(Q)=\coprod f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$, chacun d’eux étant ouvert et fermé dans $p_{\text{trop}}^{-1}(Q)$. Par conséquent, $f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$ est pour tout $i$ fini et plat au-dessus de $Q_{\mathrm{sq}}$  ; notons $d_{i}$ le degré correspondant. L’égalité $p_{\text{trop}}^{-1}(Q)=\coprod P_{i}$ implique que les $d_{i}$ sont presque tous nuls et que $d=\sum d_{i}$.

Fixons $i$. L’entier $d_{i}$ est alors nul si et seulement si $p_{\text{trop}}(P_{i})\neq Q$.

En effet, supposons que $d_{i}\neq 0$  ; dans ce cas, tout point de $Q_{\mathrm{sq}}$ a au moins un antécédent dans $f^{-1}_{\text{trop}}(P_{i})$, d’où il découle que $(p\circ f)_{\text{trop}}(f^{-1}_{\text{trop}}(P_{i}))=Q$, puis que $p_{\text{trop}}(P_{i})=Q$, d’où la surjectivité de $P_{i}\to Q$.

Réciproquement, supposons que $P_{i}$ se surjecte sur $Q$. Il existe alors nécessairement une cellule $C$ de $T_{\text{trop}}$ de dimension $d$, contenue dans $f_{\text{trop}}(X)$, s’envoyant injectivement dans $T^{\prime}_{\text{trop}}$ et rencontrant $P_{i}$. Il existe dès lors un polytope compact non vide $P$ de dimension $d$ contenu dans $P_{i}$ et tel que $P\simeq p_{\text{trop}}(P)$. Appelons $W$ le compact $f_{\text{trop}}^{-1}(P)$. Comme $P$ est contenu dans $f_{\text{trop}}(X)$ on a $f_{\text{trop}}(W)=P$  ; par conséquent, $(p\circ f)_{\text{trop}}(W)=p_{\text{trop}}(P)$ est un polytope de dimension $d$. Si la dimension tropicale de $(p\circ f)|_{W}$ en tout point de $W$ était majorée par $d-1$ le polytope $(p\circ f)_{\text{trop}}(W)$ serait de dimension au plus $d-1$, ce qui est contradictoire. Il existe donc un point de $W$ en lequel la dimension tropicale de $(p\circ f)|_{W}$ est égale à $d$  ; il en résulte que $(p\circ f)(W)$ rencontre $S(T^{\prime})$. Compte-tenu du fait que $(p\circ f)_{\text{trop}}(W)=p_{\text{trop}}(P)\subset Q$, il s’ensuit que $(p\circ f)(W)$ rencontre $Q_{\mathrm{sq}}$. Ainsi, il existe un point $x\in Q_{\mathrm{sq}}$ dont la fibre rencontre $W\subset f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$  ; le degré de $f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$ au-dessus de $x$ est donc non nul, ce qu’il fallait démontrer.

Changement de paramétrage au but. Donnons-nous un tore $T^{\prime\prime}$ de dimension $d$ et un morphisme affine et surjectif $q\colon T^{\prime}\to T^{\prime\prime}$. Un tel morphisme est fini et plat  ; notons $e$ son degré. L’application $q_{\text{trop}}\colon T^{\prime}_{\text{trop}}\to T^{\prime\prime}_{\text{trop}}$ est alors une bijection affine, $q^{-1}(S(T^{\prime\prime}))$ s’identifie à $S(T^{\prime})$ et $S(T^{\prime})\to S(T^{\prime\prime})$ est un homéomorphisme (2.4.1).

Soit $R$ l’image de $Q$ par la bijection affine $q_{\text{trop}}$. Si $z\in R_{\mathrm{sq}}$ alors $z$ a un unique antécédent $x$ sur $T^{\prime}$, qui est situé sur $S(T^{\prime})$ et par conséquent sur $Q_{\mathrm{sq}}$  ; le morphisme $q$ est fini et plat de degré $e$ en $x$. Il s’ensuit que $X$ est fini et plat de degré $de$ au-dessus de $R_{\mathrm{sq}}$  ; par le même raisonnement, $f_{\text{trop}}^{-1}(P_{i})$ est fini et plat de degré $d_{i}\cdot e$ sur $R_{\mathrm{sq}}$.