La somme directe $\mathscr{F}_{X}^{*,*}=\bigoplus_{p,q}\mathscr{F}_{X}^{p,q}$ est faisceau en $\mathscr{A}_{X}$-modules bigradués, auquel l’involution $J$ se prolonge.

Si $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, le faisceau $\mathscr{F}_{X}$ est un faisceau de $\mathbf{R}$-algèbres, et $\mathscr{F}^{*,*}$ est une $\mathscr{F}_{X}$-algèbre bigraduée, et $J$ est un automorphisme de $\mathscr{F}_{X}$-algèbre.