Commençons par quelques conventions de vocabulaire. Soit $f\colon Y\to X$ un morphisme entre espaces $k$-analytiques et soit $x\in X$. On dira que $f$ est fini et plat au-dessus de $x$ s’il existe un voisinage analytique $V$ de $x$ tel que $f^{-1}(V)\to V$ soit fini et plat. On peut alors toujours choisir un tel $V$ connexe  ; le degré de $f^{-1}(V)\to V$ ne dépend dès lors pas du choix de $V$, et on l’appelle le degré de $f$ au-dessus de $x$. Il s’ensuit que l’ensemble des points de $X$ au-dessus desquels $f$ est fini et plat est un ouvert, sur lequel le degré est localement constant.

Soit $x\in X$ un point au-dessus duquel $f$ est fini et plat, et soit $V$ un voisinage analytique de $x$ dans $X$ tel que $f^{-1}(V)\to V$ soit fini et plat. Soit $U$ un ouvert de $X$ contenant $f^{-1}(x)$. Il existe un voisinage analytique $W$ de $x$ dans $V$ tel que $f^{-1}(W)\subset f^{-1}(V)\cap U$, par propreté topologique de $f^{-1}(V)\to V$  ; par conséquent, $f|_{U}$ est fini et plat au-dessus de $x$, de même degré que $Y\to X$.

Remarquons que $f$ est fini et plat de degré nul au-dessus de $x$ si et seulement si il existe un voisinage analytique $V$ de $x$ dans $X$ tel que $f^{-1}(V)=\emptyset$  ; c’est donc le cas si et seulement si $x\notin\overline{f(Y)}$.

Soit $\Sigma$ un sous-ensemble de $X$. On dira que $f$ est fini et plat au-dessus de $\Sigma$ s’il est fini et plat au-dessus de tout point de $\Sigma$. Si c’est le cas et si $\Sigma$ est connexe et non vide, le degré de $f$ au-dessus au-dessus d’un point $x$ de $\Sigma$ ne dépend pas de $x$ et sera appelé le degré de $f$ au-dessus de $\Sigma$.

Soit $U$ un ouvert de $X$ contenant $f^{-1}(\Sigma)$. En vertu de ce qui précède, si $f$ est fini et plat au-dessus de $\Sigma$, il en va de même de $f|_{U}$, et dans le cas où $\Sigma$ est en plus connexe et non vide, le degré de $f|_{U}$ au-dessus de $\Sigma$ est égal à celui de $f$.