Quitte à remplacer $X$ par un voisinage ouvert d’un point de $K$, il suffit de prouver que $K$ contient un tel point $x$. On peut aussi supposer que $\omega$ est tropicale. Soit donc $(f\colon X\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N},P,\alpha)$ une présentation de $\omega$.

Soit $x$ un point de $K$ et soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$ possédant la propriété suivante : pour tout voisinage affinoïde $W$ de $x$ dans $V$, le compact $f_{\text{trop}}(W)$ est un voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ dans $f_{\text{trop}}(V)$  ; l’existence d’un tel $V$ découle de 2.3.3.

Fixons un voisinage affinoïde $W$ de $x$ dans ${\rm Int}\;(V/X)$. Comme $V$ est un voisinage de $x$ dans $X$ et comme $x$ appartient au support de $\omega$, la restriction à $V$ de $\omega$ n’est pas nulle. Par suite, $f_{\text{trop}}(x)$ appartient au support de $\alpha|_{f_{\text{trop}}(V)}$ (corollaire 3.2.3).

Fixons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{\text{trop}}(W)$, et soit $Q$ la réunion des cellules maximales de $\mathscr{C}$ qui contiennent $f_{\text{trop}}(x)$. Comme $f_{\text{trop}}(W)$ est un voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ dans $f_{\text{trop}}(V)$, le polytope $Q$ est lui-même un voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ dans $f_{\text{trop}}(V)$.

Il s’ensuit que $\alpha|_{Q}\neq 0$  ; par conséquent, il existe une cellule maximale $C$ de $\mathscr{C}$ (contenue dans $Q$), dont on note $d$ la dimension, telle que $\alpha|_{C}\neq 0$  ; la forme $\alpha$ étant à coefficients continus, il existe un ouvert $C_{1}$ de $C$, contenu dans son intérieur, tel que $\alpha|_{C_{1}}\neq 0$  ; notons que $C_{1}$ est ouvert dans $f_{\text{trop}}(V)$.

L’espace $V^{\prime}=(f_{\text{trop}})|_{V}^{-1}(C_{1})\cap{\rm Int}\;V$ est un ouvert de $X$.

Soit $p\colon\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N}\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{d}$ un morphisme affine de tores tel que $p_{\text{trop}}$ soit injectif sur $\langle C\rangle$, de sorte que $C^{\prime}=p_{\text{trop}}(C_{1})$ est un ouvert non vide de $\mathbf{G}_{\mathrm{m},{\text{trop}}}^{d}$. Il existe une forme $\alpha^{\prime}$ sur $C^{\prime}$ telle que $\alpha|_{C_{1}}=p^{*}\alpha^{\prime}$. Posons $f^{\prime}=p\circ f$ ; on a $\omega|_{V^{\prime}}=(f^{\prime})^{*}\alpha^{\prime}$. Écrivons $\alpha^{\prime}=\sum\alpha^{\prime}_{IJ}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$, où $I$ et $J$ parcourent les multiindices de $\{1,\dots,d\}$ de longueurs $p$ et $q$ respectivement. Quitte à restreindre $C_{1}$, $C^{\prime}$ et donc $V^{\prime}$, on peut aussi supposer que l’une des fonctions continues $\alpha^{\prime}_{IJ}$ ne s’annule pas sur $C^{\prime}$.

Fixons une cellule compacte $C_{2}$ non vide, de dimension $d$ et contenu dans $C_{1}$. Comme $f^{\prime}_{\text{trop}}(W)\supset C_{1}$, le domaine analytique compact $f_{\text{trop}}^{-1}(C_{2})\cap W$ est non vide, et il est contenu dans $V^{\prime}$ puisque $W\subset{\rm Int}\;V$. Son image par $f_{\text{trop}}$ est égale à $C_{2}$, et son image par $f^{\prime}_{\text{trop}}$ est en conséquence un polytope compact et de dimension $d$ de $C^{\prime}$. Il existe donc $y\in f_{\text{trop}}^{-1}(C_{2})\cap W$ en lequel la dimension tropicale de $f^{\prime}|_{f_{\text{trop}}^{-1}(C_{2})\cap W}$ est égale à $d$  ; la dimension tropicale de $f^{\prime}$ en $y$ est a fortiori égale à $d$, ce qui signifie que $f^{\prime}(y)$ appartient à la partie $C^{\prime}_{\mathrm{sq}}$ du squelette de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{d}$ (2.3.3).

En vertu du lemme 3.2.6 ci-dessus, la fibre $(f^{\prime})|_{V^{\prime}}^{-1}(f^{\prime}(y))$ est purement de dimension $n-d$. Il existe donc un point $z$ de cette fibre tel que $d_{{\mathscr{H}}(y)}(z)=n-d$. Comme $d_{k}(f^{\prime}(y))=d$, il vient $d_{k}(z)=n$.

Comme $f^{\prime}(z)=f^{\prime}(y)$ appartient à ${\bf S}(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{d})$ et comme $f^{\prime}|_{V^{\prime}}$ est sans bord puisque $V^{\prime}$ est un ouvert de l’espace sans bord $X$, il résulte de 2.3.3 que pour tout voisinage affinoïde $U$ de $z$ dans $V^{\prime}$, le compact $f^{\prime}_{\text{trop}}(U)$ contient un voisinage de $f^{\prime}_{\text{trop}}(z)$ dans $(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{d})_{\text{trop}}$. Comme il est par ailleurs contenu dans $C^{\prime}$ par définition de $V^{\prime}$, il contient un ouvert de $C^{\prime}$, sur lequel $\alpha$ est non nulle.

Il s’ensuit, d’après le lemme 3.2.2, que $\omega|_{U}$ est non nulle. Ceci valant pour tout $U$, le point $z$ appartient au support de $\omega$, ce qui achève la démonstration. ∎