Par définition du spectre (analytique) d’une algèbre affinoïde, il existe une fonction holomorphe $f$ sur $X$ telle que $\mathopen{|}{f(x)}\mathclose{|}\neq\mathopen{|}{f(y)}\mathclose{|}$.

Supposons ces deux valeurs non nulles  ; soit $\varphi$ une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ à support compact sur $\mathbf{R}$ valant $0$ au voisinage de $\log\mathopen{|}{f(x)}\mathclose{|}$ et $1$ au voisinage de $\log\mathopen{|}{f(y)}\mathclose{|}$. La fonction $\varphi\circ\log\mathopen{|}{f}\mathclose{|}$, définie sur l’ouvert d’inversibilité de $f$, est lisse ; prolongeons-la par $0$ sur $X$ tout entier. Comme $\varphi$ est à support compact, la fonction obtenue est nulle au voisinage de l’ensemble des zéros de $f$ ; elle est donc lisse.

Si $f(x)=0$, on raisonne de même à partir d’une fonction $\varphi$ à support compact valant $1$ au voisinage de $\log\mathopen{|}{f(y)}\mathclose{|}$.

Si $f(y)=0$, on construit comme ci-dessus une fonction lisse $u$ qui est nulle au voisinage de $y$ et qui vaut $1$ au voisinage de $x$ ; la fonction $1-u$ convient. ∎

Pour tout $y\in K$, soit $f_{y}$ une fonction lisse sur $X$ valant $1$ au voisinage de $x$ et nulle dans un voisinage $V_{y}$ de $y$. Soit $(y_{1},\dots,y_{n})$ une famille finie de points de $K$ telle que les $V_{y_{j}}$ recouvrent $K$. La fonction $\prod f_{y_{j}}$ convient. ∎

Soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$  ; il est fermé dans $X$, car $X$ est topologiquement séparé. Par suite, $K=V\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}(\mathring{V}\cap U)$ est une partie fermée de $X$ contenue dans $V$. Soit $f$ une fonction lisse sur $V$ qui vaut $1$ au voisinage de $x$ et qui est nulle au voisinage de $K$. Soit $g$ la fonction sur $X$ qui coïncide avec $f$ sur $V$ et qui est nulle en dehors de $V$. Elle est lisse sur l’intérieur de $V$, sur l’ouvert $X\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}V$, ainsi que sur un voisinage de $K$ dans $X$  ; ces trois ouverts recouvrent $X$. La fonction $g$ est donc lisse  ; son support est contenu dans $U$, comme il est contenu dans l’affinoïde $V$, il est aussi compact. ∎

Pour tout $x\in K$, soit $f_{x}$ une fonction lisse sur $X$ qui vaut $1$ au voisinage de $x$ et dont le support est compact et contenu dans $U$. Quitte à remplacer $f_{x}$ par son carré, on peut la supposer positive ou nulle. Comme $K$ est compact, la somme $g$ d’une sous-famille finie de ces fonctions est strictement positive en tout point de $K$ ; elle est lisse et son support est encore compact et contenu dans $U$. Soit $\varphi$ une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ de $\mathbf{R}$ vers $[0;1]$, nulle en $0$ et égale à $1$ sur un voisinage de $g(K)$. La fonction $f=\varphi\circ g$ convient. ∎

Soit $X^{\prime}$ le compactifié d’Alexandroff de $X$ ; comme $X$ est localement compact, c’est un espace topologique compact. Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des fonctions réelles sur $X^{\prime}$ qui sont la somme d’une fonction constante et d’une fonction lisse à support compact sur $X$ (prolongée par $0$ au point à l’infini). C’est une sous-algèbre unitaire de l’algèbre des fonctions continues sur $X^{\prime}$ ; elle sépare les points en vertu du corollaire 3.3.3. Prolongée par $0$ au point à l’infini, la fonction $f$ définit une fonction continue $f^{\prime}$ sur $X^{\prime}$. D’après le théorème de Stone-Weierstraß, il existe un nombre réel $c$ et une fonction lisse à support compact sur $X$, disons $g$, tels que $\mathopen{|}{f^{\prime}-g-c}\mathclose{|}<\varepsilon/2$. En considérant cette inégalité au point à l’infini, on a $\mathopen{|}{c}\mathclose{|}<\varepsilon/2$, si bien que $\mathopen{|}{f-g}\mathclose{|}<\varepsilon$ en tout point.

Soit $h\colon X\rightarrow[0,1]$ une fonction lisse sur $X$ dont le support est compact et contenu dans $U$ et qui vaut $1$ au voisinage du support de $f$. La fonction $hg$ est lisse sur $X$, son support est compact et contenu dans $U$. Pour $x$ en dehors du support de $f$, on a $\mathopen{|}{f(x)-h(x)g(x)}\mathclose{|}=\mathopen{|}{h(x)g(x)}\mathclose{|}\leq\mathopen{|}{g(x)}\mathclose{|}=\mathopen{|}{f(x)-g(x)}\mathclose{|}<\varepsilon$. Si $x$ appartient au support de $f$, on a $\mathopen{|}{f(x)-h(x)g(x)}\mathclose{|}=\mathopen{|}{f(x)-g(x)}\mathclose{|}<\varepsilon$. La fonction $hg$ convient. ∎

On peut supposer que $X$ est connexe. Comme il est paracompact, on peut aussi supposer que $(U_{i})$ est un recouvrement ouvert, localement fini de $X$ formé d’ouverts relativement compacts dans $X$. Puisque $X$ est connexe et paracompact, il est dénombrable à l’infini et l’on peut indexer par l’ensemble des entiers naturel l’ensemble d’indices du recouvrement $(U_{i})$.

Considérons une partition de l’unité continue $(g_{i})$ subordonnée au recouvrement $(U_{i})$. Pour tout $i$, le support de $g_{i}$ est compact. Il existe donc une fonction lisse $h_{i}$ sur $X$, à support compact contenu dans $U_{i}$, telle que $\mathopen{|}{h_{i}-g_{i}}\mathclose{|}<1/2^{i+2}$. Posons $h=\sum h_{i}$ ; c’est la somme d’une famille localement finie donc fonctions lisses, donc c’est une fonction lisse. Pour $x\in X$,

Posons $f_{i}=h_{i}/h$ ; c’est une fonction lisse sur $X$ dont le support est contenu dans $U_{i}$. On a $\sum f_{i}=1$. ∎