Choisissons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{\text{trop}}(X)$ et une décomposition cellulaire $\mathscr{D}$ de $p_{\text{trop}}(f_{\text{trop}}(X))$ telle que $p_{\text{trop}}(C)\in\mathscr{D}$ pour toute cellule $C\in\mathscr{C}$.

Soit $D$ une $n$-cellule de $\mathscr{D}$, et soit $\mathscr{C}_{D}$ l’ensemble des $n$-cellules de $\mathscr{C}$ s’envoyant sur $D$  ; pour toute cellule $C\in\mathscr{C}_{D}$, l’application $f_{\text{trop}}$ induit des isomorphismes

Soit $q$ une projection affine de $T^{\prime}$ sur un $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ telle que $q_{\text{trop}}|_{D}$ soit injective, et soit $\Delta$ une cellule de dimension $n$ contenue dans l’intérieur de $q_{\text{trop}}(D)$ et ne rencontrant pas $(q\circ p\circ f)_{\text{trop}}(\partial X)$. On note $\Delta_{D}$ l’image réciproque de $\Delta$ sur $D$, et $\Delta_{C}$ l’image réciproque de $\Delta$ sur $C$ pour toute $C\in\mathscr{C}$.

On note $\sigma_{D}$ la réciproque de l’isomorphisme $\langle D\rangle\simeq\mathbf{R}^{n}$ induit par $q_{\text{trop}}$ (et le logarithme)  ; pour tout $C\in\mathscr{C}_{D}$, on note de même $\sigma_{C}$ la réciproque de l’isomorphisme $\langle C\rangle\simeq\mathbf{R}^{n}$ induit par $p_{\text{trop}}\circ q_{\text{trop}}$.

Soit $d_{D}$ le degré de $(p\circ f)_{\text{trop}}^{-1}(\Delta_{D})$ sur $D_{{\mathrm{sq}}}$  ; pour tout $C\in\mathscr{C}_{D}$, soit $d_{C}$ le degré de $f_{\text{trop}}^{-1}(\Delta_{C})$ sur $D_{{\mathrm{sq}}}$.

Comme $(p\circ f)_{\text{trop}}^{-1}(\Delta_{D})$ est la réunion disjointe des $f_{\text{trop}}^{-1}(\Delta_{C})$ pour $C\in\mathscr{C}_{D}$, on a $d_{D}=\sum_{C\in\mathscr{C}_{D}}d_{C}$.

Munissons $\mathbf{R}^{n}$ de l’orientation donnée par sa base canonique, et soit $e$ le $n$-vecteur standard de $\mathbf{R}^{n}$. On note $o_{D}$ l’orientation de $\langle D\rangle$ déduite de $o$ via $q_{\text{trop}}$  ; pour tout $C\in\mathscr{C}_{D}$, on note $o_{C}$ l’orientation de $\langle C\rangle$ déduite de $o$ via $p_{\text{trop}}\circ q_{\text{trop}}$.

Pour tout $C\in\mathscr{C}_{D}$, le calibrage $\mu_{f}$ vaut $(o_{C},d_{C}\sigma_{C}(e))$ sur $\Delta_{C}$  ; et le calibrage $\mu_{p\circ f}$ vaut $(o_{D},d_{D}\sigma_{D}(e))$ sur $\Delta_{D}$.

Comme $p_{\text{trop}}\circ\sigma_{C}=\sigma_{D}$ pour toute $C\in\mathscr{D}$, la valeur sur $\Delta_{D}$ du calibrage $p_{\text{trop}}(\mu_{f})$ est égale à $(o_{D},(\sum_{C\in\mathscr{C}_{D}}d_{C})\sigma_{D}(e))=(o_{D},d_{D}\sigma_{D}(e))$, c’est-à-dire à $\mu_{p\circ f}(\Delta_{D})$. ∎