Soit $K$ un corps et soit $F$ une extension de type fini de $K$.

On notera $\mathbf{P}_{F/K}$ l’ensemble des valuations de $F$ triviales sur $K$ (à équivalence près). Si $f_{1},\ldots,f_{n}$ sont des éléments de $F$, le sous-ensemble de $\mathbf{P}_{F/K}$ formé des valuations dont l’anneau contient les $f_{i}$ sera noté $\mathbf{P}_{F/K}\{f_{1},\ldots,f_{i}\}$. On munit $\mathbf{P}_{F/K}$ de la topologie engendrée par ses sous-ensembles de la forme $\mathbf{P}_{F/K}\{f_{1},\ldots,f_{i}\}$  ; les ouverts de $\mathbf{P}_{F/K}$ qui sont précisément de cette forme seront qualifiés d’affines (remarquons que $\mathbf{P}_{F/K}$ lui-même est égal à $\mathbf{P}_{F/K}\{\emptyset\}$ et est donc affine)  ; tout ouvert affine de $\mathbf{P}_{F/K}$ est quasi-compact. On dit que $\mathbf{P}_{F/K}$ est l’espace de Zariski-Riemann de l’extension $F/K$.

Un prémodèle (resp. un modèle) de $F$ sur $K$ est une $K$-variété irréductible $V$ munie d’un $K$-plongement $K(V)\hookrightarrow F$ (resp. d’un $K$-isomorphisme $K(V)\simeq F$)  ; sauf mention expresse du contraire, un morphisme dominant entre prémodèles sera toujours supposé compatible avec les plongements de leurs corps des fonctions dans $F$. Il y a modulo cette convention au plus un morphisme dominant entre deux prémodèles de $F/K$. Si $W$ et $V$ sont deux prémodèles de $F$ sur $K$, on dira que $W$ est propre sur $V$ pour signifier qu’il existe un morphisme dominant $W\to V$ et que celui-ci est propre.

Si $V$ est un prémodèle de $F$ sur $K$, on note $\mathbf{P}_{F/K}\{V\}$ le sous-ensemble de $\mathbf{P}_{F/K}$ formé des valuations dont l’anneau domine un anneau local de $V$. C’est un ouvert quasi-compact de $\mathbf{P}_{F/K}$ : pour s’en assurer, on peut supposer que $V$ est affine, auquel cas $\mathbf{P}_{F/K}\{V\}=\mathbf{P}_{F/K}\{f_{1},\ldots,f_{r}\}$ pour n’importe quelle famille génératrice $(f_{1},\ldots,f_{n})$ de la $K$-algèbre $\mathscr{O}_{V}(V)$. L’application naturelle $\mathbf{P}_{F/K}\to V$ est surjective (tout anneau local de corps des fractions contenu dans $F$ est dominé par un anneau de valuation de $F$).

Si $W$ et $V$ sont deux prémodèles de $F$ sur $K$ et si $W\to V$ est un morphisme dominant, alors $\mathbf{P}_{F/K}\{W\}\subset\mathbf{P}_{F/K}\{V\}$  ; en vertu du critère valuatif de propreté, $\mathbf{P}_{F/K}\{W\}$ est égal à $\mathbf{P}_{F/K}\{V\}$ si et seulement si $W\to V$ est propre  ; en particulier (prendre $V=\operatorname{Spec}K$) on a $\mathbf{P}_{F/K}\{W\}=\mathbf{P}_{F/K}$ si et seulement si $W$ est propre.

On fait de $\mathbf{P}_{F/K}$ un espace annelé en le munissant du faisceau $\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{F/K}}$ qui envoie tout ouvert $U$ sur le sous-anneau de $F$ formé des fonctions $f$ telles que $v(f)\geq 0$ pour toute valuation $v\in U$. Il résulte immédiatement des définitions que si $v\in\mathbf{P}_{F/K}$ alors $\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{F/K},v}$ coïncide avec l’anneau de $v$  ; par conséquent, $\mathbf{P}_{F/K}$ est un espace localement annelé.

Si $V$ est un prémodèle de $F$ sur $K$ alors $\mathbf{P}_{F/K}\{V\}\to V$ est un morphisme d’espaces annelés.

On définit un fibré vectoriel sur $\mathbf{P}_{F/K}$ (ou sur l’un de ses ouverts) comme un $\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{F/K}}$-module localement libre de type fini ; son rang est une fonction constante, appelé le rang du fibré vectoriel. Un fibré en droites est un fibré vectoriel de rang $1$.

Un fibré vectoriel de rang constant $d$ admet une description en termes de $1$-cocycle à valeurs dans $\operatorname{GL}_{d}(\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{F/K}})$  ; un $1$-cocycle sur $\mathbf{P}_{F/K}$ à valeurs dans $\operatorname{GL}_{d}(\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{F/K}})$ définit le fibré trivial si et seulement si c’est un cobord.

Si $\mathsf{U}$ est un ouvert de $\mathbf{P}_{F/K}$, on note $\operatorname{Fib}(\mathsf{U})$ (resp. $\operatorname{Fib}_{d}(\mathsf{U})$, $\operatorname{Pic}(\mathsf{U})$) l’ensemble des classes d’isomorphie de fibrés vectoriels sur $\mathsf{U}$ (resp. de fibrés vectoriels de rang $d$, de fibrés en droites). Le produit tensoriel munit l’ensemble $\operatorname{Pic}(\mathsf{U})$ d’une structure de groupe abélien, décrite par le produit des cocycles.

Tout ouvert quasi-compact $\mathsf{U}$ de $\mathbf{P}_{F/K}$ est de la forme $\mathbf{P}_{F/K}\{V\}$ pour un $V$ convenable. En effet, écrivons $\mathsf{U}=\bigcup\mathsf{U}_{i}$, où chacun des $\mathsf{U}_{i}$ est de la forme $\mathbf{P}_{F/K}\{f_{i,1},\ldots,f_{i,\ell(i)}\}$. Choisissons un modèle propre $W$ de $F/K$ tel que pour tout $x\in W$ et tout $(i,\ell)$ ou bien la fonction $f_{i,\ell}$ ou bien son inverse soit définie au voisinage de $x$ sur $W$. Si l’on appelle $V_{i}$, pour $i$ fixé, l’ouvert de définition commun des $f_{i,\ell}$ pour $1\leq\ell\leq\ell(i)$ alors $\mathsf{U}_{i}=\mathbf{P}_{F/K}\{V_{i}\}$ et l’on peut donc prendre $V=\bigcup V_{i}$.

On imposer à $V$ des conditions supplémentaires : par exemple si l’on s’est donné sur chaque $\mathsf{U}_{i}$ un élément $g_{i}$ de $\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{F/K}}(\mathsf{U}_{i})^{\times}$ on peut faire en sorte que $g_{i}\in\mathscr{O}_{V}(V_{i})^{\times}$ pour tout $i$ : il suffit d’imposer qu’en tout point $x$ de $W$ et pour tout $i$, ou bien la fonction $g_{i}$ ou bien son inverse soit définie au voisinage de $x$  ; et si l’on s’est donné pour tout $(i,j)$ un élément $h_{ij}$ de $\mathscr{O}_{\mathbf{P}_{F/K}}(\mathsf{U}_{i}\cap\mathsf{U}_{j})^{\times}$, on peut de même faire en sorte que $h_{i,j}\in\mathscr{O}_{V}(V_{i}\cap V_{j})^{\times}$ pour tout $(i,j)$.

Si $(V,E)$ est un prémodèle d’un fibré vectoriel $\mathsf{E}$ sur un ouvert quasi-compact $\mathsf{U}$ de $\mathbf{P}_{F/K}$ alors pour tout prémodèle $W$ de $F/K$ qui est propre sur $V$, le couple $(W,E|_{V})$ est un prémodèle de $\mathsf{E}$.

Si $\mathsf{U}$ est un ouvert quasi-compact de $\mathbf{P}_{F/K}$, tout fibré vectoriel sur $\mathsf{U}$ admet un modèle. Plus précisément, l’ensemble $\operatorname{Fib}_{d}(\mathsf{U})$ des classes d’isomorphie de fibrés vectoriels de rang $d$ sur $\mathsf{U}$ s’identifie à la limite inductive des ensembles $\operatorname{Fib}_{d}(V)$, où $V$ parcourt l’ensemble des modèles de $F$ tels que $\mathbf{P}_{F/K}\{V\}=\mathsf{U}$ : en vertu de la description d’un fibré vectoriel au moyen de cocycles et cobords, c’est une conséquence des remarques précédant la définition ci-dessus.

Soit $\mathsf{L}$ un faisceau localement libre de rang un sur un ouvert quasi-compact $\mathsf{U}$ de $\mathbf{P}_{F/K}$. Comme dans tout espace annelé, on dit qu’il est engendré par ses sections globales s’il existe, pour tout point $x$ de $\mathbf{P}_{F/K}$, une section de $\mathsf{L}$ sur $\mathsf{U}$ qui n’est pas nulle en $x$. Comme $\mathsf{U}$ est quasi-compact, cela revient à demander l’existence d’un prémodèle $(V,L)$ de $(\mathsf{U},\mathsf{L})$ tel que $L$ soit engendré par ses sections globales sur $V$.

Soit $(\mathsf{L}_{1},\dots,\mathsf{L}_{n})$ une famille de faisceaux localement libres de rang un sur l’espace $\mathbf{P}_{F/K}$. Supposons que $F$ soit de degré de transcendance $n$ sur $K$. Soit $V$ un prémodèle de $F$ sur $K$ ; pour tout $i$, soit $M_{i}$ un fibré en droites sur $V$ tel que $(V,M_{i})$ soit un prémodèle de $\mathsf{L}_{i}$. D’après la formule de projection, le nombre d’intersection

multiplié par le degré $[F:K(V)]$ ne dépend pas du choix de $V$ et des $M_{i}$. On le notera

Soit $X$ un espace $k$-analytique séparé et soit $x\in X$. Lorsque $(X,x)$ est strict et lorsque $|k^{\times}|\neq\{1\}$, Temkin a défini dans [52], la réduction $\widetilde{(X,x)}$ de $X$  ; c’est un ouvert quasi-compact et non vide de l’espace de Zariski-Riemann $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}$ de $\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$ sur $\tilde{k}$.

L’application $(Y,x)\mapsto\widetilde{(Y,x)}$ établit une bijection entre l’ensemble des domaines strictement analytiques de $(X,x)$ et celui des ouverts quasi-compacts et non vides de $\widetilde{(X,x)}$.

Pour traiter le cas général (germes non stricts, valeur absolue triviale), Temkin a développé dans [53] une théorie analogue à la précédente, mais plus sophistiquée, qui recourt à l’algèbre commutative graduée.

Nous n’en aurons pas besoin ici  ; plus précisément, nous n’aurons besoin que de la «partie non graduée» de la théorie de Temkin, au sujet de laquelle nous allons dire quelques mots  ; nos assertions se démontrent en décalquant mutatis mutandis les preuves de [53].

Nous ne faisons plus maintenant d’hypothèses sur le germe $(X,x)$. Nous définissons $\widetilde{(X,x)}$ exactement comme dans [53], mais en nous contentons des réductions classiques (et non graduées) des corps et algèbres affinoïdes en jeu. On obtient là encore un ouvert quasi-compact non vide de $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}$, qui coïncide avec celui construit précédemment dans le cas où $\widetilde{(X,x)}$ est strict et où la valuation est non triviale. Il existe une application continue naturelle de la réduction graduée $\widetilde{(X,x)}_{\rm gr}$ vers $\widetilde{(X,x)}$.

Soit $\mathsf{U}$ un ouvert quasi-compact et non vide de $\widetilde{(X,x)}$. Son image réciproque sur $\widetilde{(X,x)}_{\rm gr}$ en est un ouvert quasi-compact et non vide, qui s’identifie dès lors à $\widetilde{(Y,x)}_{\rm gr}$, où $(Y,x)$ est un domaine analytique de $(X,x)$ qui est uniquement déterminé et satisfait l’égalité $\widetilde{(Y,x)}=\mathsf{U}$.

On dira qu’un domaine $(Y,x)$ de $(X,x)$ obtenu par ce procédé est relativement strict. L’application $(Y,x)\mapsto\widetilde{(Y,x)}$ établit une bijection entre l’ensemble des domaines relativement stricts de $(X,x)$ et celui des ouverts quasi-compacts et non vides de $\widetilde{(X,x)}$.

Si $(X,x)$ est bon, ou plus généralement si $\mathscr{O}_{X,x}$ est d’image dense dans ${\mathscr{H}}(x)$, un domaine analytique de $(X,x)$ est relativement strict si et seulement si on peut le décrire, en tant que sous-germe de $(X,x)$, par conjonctions et disjonctions de conditions de la forme $\mathopen{|}{f}\mathclose{|}\leq 1$, où $f$ est une fonction holomorphe sur $(X,x)$.

Si $Y$ est un domaine analytique de $X$, on dira qu’il est relativement strict dans $X$ si $(Y,y)$ est relativement strict dans $(X,y)$ pour tout $y\in Y$.

Un fibré vectoriel sur un espace $k$-analytique $X$ est un faisceau en modules localement libres de rang fini sur le site annelé $X_{\rm G}$ (à savoir $X$ muni de la G-topologie et du faisceau structural).

Il définit par restriction à l’espace topologique $X$ un faisceau en $\mathscr{O}_{X}$-modules, dont on ne sait pas s’il est en général localement libre. C’est toutefois toujours le cas lorsque $X$ est bon, et notamment sans bord  ; on dispose même plus précisément dans cette situation d’une équivalence entre la catégorie des $\mathscr{O}_{X_{\rm G}}$-modules localement libres de rang fini et celle des $\mathscr{O}_{X}$-modules localement libres de rang fini ([8], prop. 1.3.4).

Soit $X$ un espace analytique et soit $E$ un fibré vectoriel sur $X$. Notons $\mathbf{V}(E)$ l’espace total de $E$ : c’est un espace analytique muni d’un morphisme $\pi$ vers $X$ dont les sections au-dessus d’un domaine analytique de $X$ s’identifient aux sections de $E$ sur ce domaine. Si $E=\mathscr{O}_{X}^{n}$, alors $\mathbf{V}(E)=\mathbf{A}^{n}_{X}$ est l’espace affine (analytique) au-dessus de $X$ ; dans le cas général, on le construit par recollement.

On notera souvent $\bar{E}$ la donnée d’un fibré vectoriel $E$ sur $X$ et d’une métrique sur ce fibré.

Il serait intéressant de prouver que tout fibré vectoriel sur $X$ possède une métrique lisse. Les arguments de la proposition montrent qu’il suffit de savoir traiter le cas d’un fibré vectoriel trivial.

Si $X$ est un espace $k$-analytique, on définit ${\rm PL}(X)$ comme le groupe abélien des fonctions continues à valeurs réelles $f$ sur $X$ possédant la propriété suivante : il existe un G-recouvrement $(X_{i})$ de $X$ par des domaines analytiques relativement stricts et, pour tout $i$, un fonction holomorphe inversible $f_{i}$ sur $X$ telle que $f|_{X_{i}}=\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}$.

Le produit tensoriel $L\otimes L^{\prime}$ de deux fibrés en droites métrisés $L$ et $L^{\prime}$ possède une unique métrique pour laquelle $\mathopen{\|}{s\otimes s^{\prime}}\mathclose{\|}=\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}\mathopen{\|}{s^{\prime}}\mathclose{\|}$ si $s$ et $s^{\prime}$ sont des sections de $L$ et $L^{\prime}$ respectivement. De même, l’inverse d’un fibré en droites métrisé $L$ possède une unique métrique pour laquelle $\mathopen{\|}{s^{-1}}\mathclose{\|}=\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}$ si $s$ est une section inversible de $L$. Si les métriques sur $L$ et $L^{\prime}$ sont continues, resp. PL, resp. lisses, il en est de même des métriques sur $L\otimes L^{\prime}$ et $L^{-1}$.

Pour $*\in\{\mathscr{C}^{0},{\rm PL},\text{lisse}\}$, notons $\mathop{\widehat{\mathrm{Pic}}}(X,*)$ l’ensemble des classes d’isométrie de fibrés en droites sur $X$ munis d’une métrique $*$. Le produit tensoriel et l’inverse le munissent d’une structure de groupe abélien. De plus, l’oubli de la métrique définit un homomorphisme de groupes $\mathop{\widehat{\mathrm{Pic}}}(X,*)\rightarrow\operatorname{Pic}(X)$. Cet homomorphisme est surjectif si $X$ est paracompact (et si $\mathopen{|}{k^{\times}}\mathclose{|}\neq 1$ lorsque $*={\rm PL}$). Son noyau est l’ensemble des métriques $*$ sur le fibré en droites trivial. C’est donc le groupe des fonctions $*$ sur $X$ modulo le sous-groupe des fonctions (continues, lisses et PL) de la forme $\log\mathopen{|}{u}\mathclose{|}$, pour $u\in\Gamma(X,\mathscr{O}_{X}^{*})$.

Soit $E$ un fibré vectoriel métrisé sur $X$. Soit $f\colon Y\rightarrow X$ un morphisme d’espaces $k$-analytiques. On dispose alors d’un carré cartésien

Si $E$ est libre, identifié à $\mathscr{O}_{X}^{n}$, $f^{*}E$ est identifié à $\mathscr{O}_{Y}^{n}$, le morphisme $f^{\prime}$ s’identifie à l’application $(\operatorname{id},f)$ de $\mathbf{V}(f^{*}E)=\mathbf{A}^{n}\times Y$ dans $\mathbf{V}(E)=\mathbf{A}^{n}\times X$. On définit alors une métrique sur le fibré vectoriel $f^{*}E$ par la composition $\mathbf{V}(f^{*}E)\xrightarrow{f^{\prime}}\mathbf{V}(E)\xrightarrow{\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}}\mathbf{R}_{+}$.

Si la métrique de $E$ est lisse, resp. ${\rm PL}$, il en est de même de la métrique de $f^{*}E$ ainsi définie. Par passage aux classes d’isométrie de fibrés en droites métrisés PL, on en déduit un homomorphisme de groupes $f^{*}\colon\mathop{\widehat{\mathrm{Pic}}}(X,*)\rightarrow\mathop{\widehat{\mathrm{Pic}}}(Y,*)$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique et soit $L$ un fibré en droites sur $X$, localement trivial pour la topologie usuelle de $X$.

On dit qu’une métrique continue sur $L$ est psh (resp. localement psh-approchable, resp. localement approchable) si, pour toute section inversible locale $s$ de $L$, la fonction continue $\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}$ est psh (resp. localement psh-approchable, resp. localement approchable). Pour qu’il en soit ainsi, il suffit que $L$ possède une telle section au voisinage de tout point de $X$.

On dit qu’une métrique continue $\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}$ sur $L$ est (globalement) psh-approchable s’il existe une suite $(\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}_{n})$ de métriques psh lisses telles que les fonctions continues $\log(\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}/\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}_{n})$ sur $X$ convergent uniformément vers $0$.

On dit qu’une métrique continue sur $L$ est (globalement) approchable s’il existe deux fibrés en droites $L_{1}$ et $L_{2}$ sur $X$, munis de métriques globalement psh-approchables, tels que $\bar{L}\simeq\bar{L}_{1}\otimes\bar{L}_{2}^{-1}$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique sans bord purement de dimension $n$ et soit $\bar{L}$ la donnée d’un fibré en droites $L$ sur $X$ muni d’une métrique continue. Soit $U$ un ouvert de $X$ sur lequel $L$ admet une section inversible $s$. La fonction $\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}$ est alors continue sur $U$. Soit $c_{(U,s)}$ le $(1,1)$-courant sur $U$ égal à $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}$ ; si la métrique de $L$ est lisse, $c_{(U,s)}$ est une $(1,1)$-forme lisse. Comme $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log\mathopen{|}{h}\mathclose{|}=0$, pour toute fonction inversible $h$ sur $U$, le courant $c_{(U,s)}$ (la forme $c_{(U,s)}$ dans le cas lisse) ne dépend pas du choix de $s$ et peut donc être noté $c_{U}$. Si $V\subset U$ alors $c_{U}|_{V}=c_{V}$. Il s’ensuit que lorsque $U$ parcourt l’ensemble des ouverts de $X$ sur lesquels $U$ admet une section inversible (ouverts qui recouvrent $X$), les courants $c_{U}$ se recollent en un $(1,1)$-courant sur $X$ que l’on notera $c_{1}(\bar{L})$.

Si la métrique de $L$ est lisse, il s’agit d’une forme lisse.

Soit $U$ un ouvert de $X$ et soit $s$ une section méromorphe régulière de $L$ sur $U$. Il résulte de la la formule de Poincaré–Lelong que la fonction $\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}$ définit un courant sur $U$ et que $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}]+\delta_{\operatorname{div}(s)}=c_{1}(\bar{L})|_{U}$.

Comme $X$ est propre, les fibrés en droites analytiques $L_{i}$ sont algébriques ([7], théorèmes 3.4.1 et 3.5.1). Le membre de droite de cette dernière formule est le degré du 0-cycle sur $k$ obtenu en coupant successivement la classe fondamentale $[X]$ de $X$ par les premières classes de Chern $c_{1}(L_{1}),\dots,c_{1}(L_{n})$ des fibrés en droites $L_{i}$ puis en le projetant sur $\operatorname{Spec}(k)$ par le morphisme structural $X\rightarrow\operatorname{Spec}(k)$.