Soit $(\mathfrak{X},\mathfrak{L})$ un modèle formel de $(X,L)$ induisant la métrique formelle donnée de $\bar{L}$. Comme $X$ possède un modèle formel qui est projectif, on peut supposer que $\mathfrak{X}$ est projectif sur $k^{0}$. Il résulte alors du théorème de comparaison géométrie algébrique/géométrie formelle (théorème 2.13.8 de [1]) que $\mathfrak{L}$ est un fibré en droites algébrique sur $\mathfrak{X}$. Dans ces conditions, il existe deux fibrés en droites amples $\mathfrak{L}_{1}$ et $\mathfrak{L}_{2}$ sur $\mathfrak{X}$ tels que $\mathfrak{L}\simeq\mathfrak{L}_{1}\otimes\mathfrak{L}_{2}^{-1}$. Pour $i\in\{1,2\}$, soit $\bar{L}_{i}$ la fibre générique de $\mathfrak{L}_{i}$, muni de sa métrique formelle canonique  ; c’est une métrique psh-approchable. L’isomorphisme $\mathfrak{L}\simeq\mathfrak{L}_{1}\otimes\mathfrak{L}_{2}^{-1}$ induit un isomorphisme $L\simeq L_{1}\otimes L_{2}^{-1}$. C’est même une isométrie, d’où le corollaire. ∎