Soient $X$ un espace $k$-analytique et $E$ un fibré vectoriel sur $X$. Munisons-le de la métrique formelle associée à un modèle $(\mathfrak{X},\mathfrak{E})$. Soit $x\in X$ et soit $V$ la $\tilde{k}$-variété $\overline{\{\pi(x)\}}$ (munie de sa structure réduite)  ; le lemme 6.5.1 assure que $\widetilde{(X,x)}=\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{V\}$.

Le couple $(V,\mathfrak{E}|_{V})$ est un prémodèle de ${\mathsf{E}}(x)$. Pour le voir, on choisit une famille finie $(\mathfrak{U}_{i})$ d’ouverts affines formels de $\mathfrak{X}$ qui rencontrent $V$, le recouvrent et tels que sur chacun des $\mathfrak{U}_{i}$, le fibré $\mathfrak{E}$ possède une base $e_{i}$ . Remarquons que $x\in\mathfrak{U}_{i,\eta}$ pour tout $i$ (puisque chacun des $\mathfrak{U}_{i}$ contient le point générique de $V$) et que les $(\mathfrak{U}_{i,\eta},x)$ recouvrent le germe $(X,x)$ : cela provient du fait que la réunion des $\mathfrak{U}_{i,\eta}$ contient $\pi^{-1}(V)$, qui est un voisinage ouvert de $x$.

Pour tout $i$, notons $U_{i}$ l’ouvert affine $\mathfrak{U}_{i}\cap V$ de $V$. Pour tout couple $(i,j)$, il existe une matrice inversible $A_{ij}$ sur $\mathfrak{U}_{i}\cap\mathfrak{U}_{j}$ telle que $e_{i}=A_{ij}e_{j}$. Notons $g_{ij}$ sa restriction à $U_{i}\cap U_{j}$ ; le fibré $\mathfrak{E}|_{V}$ est défini par le cocycle $(g_{ij})$.

On peut voir chacune des $A_{ij}$ comme une matrice analytique de norme $\leq 1$, ainsi que son inverse, sur $\mathfrak{U}_{i,\eta}\cap\mathfrak{U}_{j,\eta}$. On a alors $\widetilde{A_{ij}(x)}=g_{ij}$, à condition de voir la matrice $g_{ij}$ comme une matrice à coefficients dans le corps $\tilde{k}(V)=\tilde{k}(\pi(x))\subset\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$.

Il resulte alors de la définition du fibré résiduel que ${\mathsf{E}}(x)$ est induit par le cocycle $(g_{i,j})$.

En vertu du lemme 6.5.1, $\widetilde{(\mathfrak{U}_{i,\eta},x)}$ est égal à $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{U_{i}\}$ pour tout $i$  ; par conséquent, l’image réciproque de $\mathfrak{E}|_{V}$ sur $\widetilde{(X,x)}=\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{V\}$ coïncide avec ${\mathsf{E}}(x)$, ce qu’on souhaitait établir.