Soit $a=(a_{1},\dots,a_{m})$ une famille de nombres réels strictement positifs. Rappelons que $g_{\varepsilon}(x)=\varepsilon f_{a}(x/\varepsilon)$ est une fonction convexe, lisse, qui converge uniformément vers $g(x)$ quand $\varepsilon\rightarrow 0^{+}$. On a donc $\rangle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n},\mu\rangle=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon})^{n},\rangle$. Remarquons que

	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon}$	$\displaystyle=\varepsilon^{-1}\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}\exp(f_{i}(x/\varepsilon)}{\sum a_{i}\exp(f_{i}(x/\varepsilon))}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}f_{i}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}f_{i}$
		$\displaystyle\qquad-\varepsilon^{-1}\sum_{i,j=1}^{n}\frac{a_{i}\exp(f_{i}(x/\varepsilon)}{\sum a_{i}\exp(f_{i}(x/\varepsilon))}\frac{a_{j}\exp(f_{j}(x/\varepsilon)}{\sum a_{j}\exp(f_{j}(x/\varepsilon))}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}f_{i}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}f_{j}$

Par suite, pour toute fonction $\varphi$ sur $V$ qui est lisse à support compact, on a

	$\displaystyle\int_{V}\varphi\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n},\mu\rangle$	$\displaystyle=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{V}\varphi(x)\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon}(x)^{n},\mu\rangle=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{V}\varphi(\varepsilon x)\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle$
		$\displaystyle=\varphi(0)\int_{V}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle.$

Cela démontre l’égalité annoncée, avec $c=\int_{V}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle$. Si elle pourrait être établie directement (soit par un calcul, soit par des propriétés générales, cf. [43], Proposition 3.9), la convergence de cette dernière intégrale résulte aussi de ce calcul. En effet, prenons pour $\varphi$ une fonction positive ou nulle, égale à $1$ dans un voisinage $B$ de $0$. Comme $g_{1}$ est convexe, $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n}$ est une mesure positive. Alors,

	$\displaystyle\int_{V}\varphi\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n},\mu\rangle$	$\displaystyle=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{V}\varphi(\varepsilon x)\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle$
		$\displaystyle\geq\limsup\int_{\varepsilon^{-1}B}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle$
		$\displaystyle=\int_{V}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n},\mu\rangle.$

La positivité du courant $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g)^{n}$ entraîne que $c\geq 0$. Si l’on soustrait $f_{1}$ de toutes les $f_{i}$, cela remplace $g$ et $g_{\varepsilon}$ par $g-f_{1}$ et $g_{\varepsilon}-f_{1}$, donc ne modifie pas $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{\varepsilon}$. Cela permet de supposer que $f_{1}=0$. Si $(\overrightarrow{f_{2}}-\overrightarrow{f_{1}},\dots,\overrightarrow{f_{m}}-\overrightarrow{f_{1}})$ ne contient pas de base du dual de $\overrightarrow{V}$, $g_{1}$ provient d’une fonction lisse sur un espace vectoriel de dimension $<n$. Par suite, $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}g_{1})^{n}=0$. ∎