Soit $\mathscr{A}$ une algèbre $k$-affinoïde, soit $\mathscr{I}$ son nilradical, soit $X$ l’espace $\mathscr{M}(\mathscr{A})$ et soit $\mathscr{X}$ le schéma $\operatorname{Spec}\mathscr{A}$. Soit $x\in X$, et soit $\mathbf{x}$ son image sur $\mathscr{X}$. L’anneau $\mathscr{A}$ étant réduit, l’espace analytique $X$ est réduit (Berkovich, cf. [29], th. 3.4). Les anneaux locaux artiniens $\mathscr{O}_{\mathscr{X},\mathbf{x}}/\mathscr{I}$ et $\mathscr{O}_{\mathscr{X},\mathbf{x}}/\mathscr{I}$ sont donc tous deux des corps.

Pour tout $\mathscr{A}$-module de type fini $\mathscr{F}$, on pose

Nous dirons que c’est la longueur de $\mathscr{F}$ (ou du faisceau cohérent associé) en $x$ ou en $\mathbf{x}$.

Lorsque $\mathscr{F}=\mathscr{A}$, cet entier est ce qu’on appelle la multiplicité de la composante irréductible $\overline{\{{\mathbf{x}}\}}$ de $\mathscr{X}$  ; nous dirons également que c’est la multiplicité de $X$ en $x$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique irréductible, soit $\mathscr{F}$ un faisceau cohérent sur $X$, et soit $\mathscr{I}$ le faisceau des éléments localement nilpotents sur $X$. Fixons un domaine affinoïde non vide $V$ de $X$. La suite de faisceaux cohérents

s’annule à un rang fini lorsqu’on la restreint à $V$  ; elle s’annule donc génériquement à un rang fini, c’est-à-dire qu’il existe $n$ tel que $\mathscr{I}^{n}\mathscr{F}$ soit nul au-dessus d’un ouvert de Zariski non vide de $X$.

Soit $n$ un entier. Le faisceau $\mathscr{F}_{m}:=\mathscr{I}^{m}\mathscr{F}/\mathscr{I}^{m+1}\mathscr{F}$ est un faisceau cohérent de $\mathscr{O}_{X}/\mathscr{I}$-modules, c’est-à-dire un faisceau cohérent sur $X_{\text{red}}$. Sa restriction à $V_{\text{red}}$ est génériquement libre sur chacune des composantes irréductibles de $V_{\text{red}}$. Par conséquent, l’ouvert de Zariski $U$ de $X_{\text{red}}$ au-dessus duquel $\mathscr{F}_{m}$ est libre est non vide. Comme $U$ est connexe ([7], Corollaire 3.3.20), le rang de $\mathscr{F}_{m}$ est constant sur cet ouvert ; on le note $r_{m}(\mathscr{F})$.

Pour $m$ assez grand, on a $r_{m}(\mathscr{F})=0$. On note $\ell(\mathscr{F})=\sum_{m\geq 0}r_{m}(\mathscr{F})$ et on dit que c’est la longueur générique du faisceau cohérent $\mathscr{F}$. Lorsque $\mathscr{F}=\mathscr{O}_{X}$, on dit que $\ell(\mathscr{O}_{X})$ est la multiplicité générique de $X$.

Soit $v$ un point de $V$ tel que $\mathscr{O}_{V,v}$ soit artinien. La longueur générique de $\mathscr{F}$ est alors égale par construction à la longueur de $\mathscr{F}|_{V}$ en $v$, et la multiplicité générique de $X$ est égale à la multiplicité de $V$ en $v$.

Soit $W$ un espace $k$-affinoïde et soit $\pi\colon V\to W$ un morphisme fini  ; soit $w$ un point de $W$ tel que $\mathscr{O}_{W,w}$ soit un corps. Le morphisme $V_{\text{red}}\to W$ est fini et plat au-dessus de $w$  ; soit $\theta$ le degré correspondant. Alors, $\pi_{*}\mathscr{O}_{V}\otimes\mathscr{O}_{W,w}$ est un espace vectoriel de dimension $\theta$ sur $\mathscr{O}_{W,w}$, tandis que $\pi_{*}\mathscr{F}_{m}|V\otimes\mathscr{O}_{W,w}$ est un espace vectoriel de dimension $r_{m}(\mathscr{F})\theta$. Par suite, la dimension de $\pi_{*}\mathscr{F}|_{V}\otimes\mathscr{O}_{W,w}$ est égal à $\ell(\mathscr{F})\theta$.

Soit $L$ un corps tel que $X_{L}$ soit encore irréductible. L’espace $(X_{\text{red}})_{L}$ n’est pas forcément réduit, et $r_{m}(\mathscr{F}_{L})$ diffère de $r_{m}(\mathscr{F})$ en général  ; il résulte plus précisément des définitions que $\ell(\mathscr{F}_{L})=\mathsf{m}\sum r_{m}(\mathscr{F})$, où $\mathsf{m}$ est la multiplicité générique de $(X_{\text{red}})_{L}$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique irréductible de dimension $n$, soit $Y$ un espace $k$-analytique et soit $\pi:Y\to X$ un morphisme fini. Soit $\mathsf{m}$ la multiplicité générique de $X$, et soit $\mathsf{n}$ l’entier $\sum r_{m}(\pi_{*}\mathscr{O}_{Y})$. Il résulte de ce qui précède que pour tout domaine affinoïde $V$ de $Y$, pour tout morphisme fini $\varphi:V\to W$ où $W$ est un espace $k$-affinoïde, et pour tout point $w$ de $W$ tel que $\mathscr{O}_{W,w}$ soit un corps, le degré de $Y\times_{X}V$ au-dessus de $w$ est égal au produit du degré de $V$ au-dessus de $w$ par $\mathsf{n}/\mathsf{m}$. On dira que $\mathsf{n}/\mathsf{m}$ est le degré intégral de $Y$ sur $X$.

On déduit alors de la définition des intégrales que pour toute $(n,n)$-forme mesurable $\omega$ sur $X$ à support fortement paracompact dans $X$, on a $\int_{Y}\mathopen{|}{\pi^{*}\omega}\mathclose{|}=(\mathsf{n}/\mathsf{m})\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, et $\int_{Y}\ \pi^{*}\omega=(\mathsf{n}/\mathsf{m})\int_{X}\omega$ dans le cas intégrable.

De même, si $\omega$ est une $(n-1,n)$-forme mesurable $\omega$ sur $X$ à support fortement paracompact dans $X$, on a $\int_{\partial Y}\mathopen{|}{\pi^{*}\omega}\mathclose{|}=(\mathsf{n}/\mathsf{m})\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, et $\int_{\partial Y}\ \pi^{*}\omega=(\mathsf{n}/\mathsf{m})\int_{\partial X}\omega$ dans le cas intégrable.

Donnons maintenant quelques exemples.

Cette notion de degré intégral s’étend comme suit au cas des espaces analytiques non nécessairement irréductibles. Soit $X$ un espace $k$-analytique purement de dimension $n$, soit $Y\to X$ un morphisme fini, soit $T$ une composante irréductible de $X$, et soit $Z$ la réunion des autres composantes. Munissons $T$ de sa structure générique de sous-espace analytique fermé de $X$, définie en prenant G-localement l’adhérence schématique de $T-Z$. Le degré intégral de $Y\times_{X}T$ sera appelé plus brièvement le degré intégral de $Y$ au-dessus de $T$.

Comme le support d’une $(n,n)$-forme est constitué uniquement de points $x$ tel que $d_{k}(x)=n$, il ne contient aucun point situé sur deux composantes irréductibles distinctes de $X$.

Par conséquent, la formule donnée ci-dessus se généralise comme suit. Soit $(X_{i})$ la famille des composantes irréductibles de $X$  ; pour tout $i$, soit $d_{i}$ le degré intégral de $Y$ au-dessus de $Y_{i}$. Si $\omega$ est une $(n,n)$-forme mesurable sur $X$ à support fortement paracompact dans $X$, on a alors $\int_{Y}\mathopen{|}{f^{*}(\omega)}\mathclose{|}=\sum_{i}d_{i}\int_{X_{i}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, et la même chose sans les valeurs absolues dans le cas intégrable.

Cela vaut également mutatis mutandis pour les $(n-1,n)$-formes.

Si $X$ est irréductible, si $Y\to X$ est fini de degré intégral $d$ et si $L$ est une extension complète de $k$ alors le degré intégral de $Y_{L}$ sur chacune des composantes irréductibles de $X_{L}$ est égal à $d$.