Soit $X$ un espace $k$-analytique, soit $\bar{E}$ un fibré métrisé PL sur $X$ et soit $x$ un point de $X$.

Pour tout domaine analytique $(Y,x)$ de $(X,x)$, on note $\bar{E}^{\circ}(Y,x)$ le sous-module de $\bar{E}(Y,x)$ formé des sections dont la norme est partout majorée par $1$ et $E^{\flat}(Y,x)$ le quotient de $\bar{E}^{\circ}(Y,x)$ par le sous-groupe des sections dont la norme en $x$ est strictement majorée par 1.

On suppose que $\mathscr{O}_{X,x}\to{\mathscr{H}}(x)$ est d’image dense et que le fibré vectoriel $E$ (sans métrique) est trivialisable au voisinage de $x$. Notons que ces deux conditions sont toujours satisfaites dès que le germe $(X,x)$ est bon.

Fixons une base $\mathfrak{b}$ de $E$ au voisinage de $x$. Soit $(X_{\alpha},x)$ un G-recouvrement fini de $(X,x)$ déployant $\bar{E}$. Pour tout $\alpha$, il existe une base orthonormée ${\mathfrak{b}}_{\alpha}$ de $\bar{E}$ sur $(X_{\alpha},x)$  ; soit $(g_{\alpha,\beta})$ le cocycle sur $(X,x)_{\mathrm{G}}$, à coefficients dans $\operatorname{GL}_{n}^{\circ}$ défini par la famille $(\mathfrak{b}_{\alpha})$.

Par densité de l’image de $\mathscr{O}_{X,x}$ dans ${\mathscr{H}}(x)$ et par trivialité du fibré vectoriel $E$ au voisinage de $x$, on peut supposer que l’élément de $\operatorname{GL}_{n}^{0}(X_{\alpha},x)$ qui envoie $\mathfrak{b}$ sur $\mathfrak{b}_{\alpha}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$  ; dans ce cas chacun des $g_{\alpha,\beta}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$.

Soit $\bar{E}^{\prime}$ un fibré métrisé PL sur $X$ tel que $E^{\prime}$ soit trivialisable au voisinage de $x$. Il peut lui-aussi être défini par un cocycle constitué de matrices appartenant à $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$. Il résulte alors de 6.5.5, B) que les fibrés résiduels ${\mathsf{E}}$ et $\mathsf{E}^{\prime}$ de $\bar{E}$ et $\bar{E}^{\prime}$ en $x$ sont isomorphes si et seulement si les fibrés métrisés $\bar{E}$ et $\bar{E}^{\prime}$ sont isomorphes au voisinage de $x$. En particulier, $\bar{E}$ est trivial au voisinage de $x$ si et seulement si le fibré résiduel ${\mathsf{E}}$ de $\bar{E}$ en $x$ est trivial.