L’application de tropicalisation $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}\to(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\text{trop}}$ possède une section continue naturelle $(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\text{trop}}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$, définie comme suit : elle envoie un point $r=(r_{1},\dots,r_{n})\in(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\text{trop}}=(\mathbf{R}+^{\times})^{n}$ sur le point $\eta_{r}$ de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ défini par la semi-norme qui applique le polynôme de Laurent

$$f=\sum_{m\in\mathbf{Z}^{n}}a_{m}T_{1}^{m_{1}}\dots T_{n}^{m_{n}}$$

sur

$$\max_{m\in\mathbf{Z}^{n}}\mathopen{|}{a_{m}}\mathclose{|}r_{1}^{m_{1}}\dots r_{n}^{m_{n}}.$$

Son image est appelée squelette de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ et est notée $S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$.

Canonicité du squelette. On peut caractériser $S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$ comme l’ensemble des points de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ maximaux pour la relation $\leq$ définie comme suit : $x\leq y$ si et seulement si $\mathopen{|}{f(x)}\mathclose{|}\leq\mathopen{|}{f(y)}\mathclose{|}$ pour toute fonction analytique $f$ sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$.

En effet, soit $x\in\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$. Pour tout $i$, on pose $r_{i}=T_{i}(x)$, et l’on note $r$ le $n$-uplet $(r_{1},\ldots,r_{n})$. Soit $f=\sum_{m\in\mathbf{Z}^{n}}a_{m}T_{1}^{m_{1}}\dots T_{n}^{m_{n}}$ une fonction analytique sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$. On a

$$|f(x)|\leq\max_{m\in\mathbf{Z}^{n}}\mathopen{|}{a_{m}}\mathclose{|}r_{1}^{m_{1}}\dots r_{n}^{m_{n}}=\mathopen{|}{f(\eta_{r})}\mathclose{|}.$$

En conséquence, $x\leq\eta_{r}$  ; en particulier, si $x$ est maximal alors $x=\eta_{r}$.

Ainsi, tout point maximal appartient à $S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$. Réciproquement, soit $r\in(\mathbf{R}^{\times}_{+})^{n}$ et soit $x\geq\eta_{r}$. Pour tout $i$, on pose $s_{i}=|T_{i}(x)|$, et l’on note $s$ le $n$-uplet $(s_{1},\ldots,s_{n})$. Par ce qui précède, $x\leq\eta_{s}$  ; a fortiori, $\eta_{r}\leq\eta_{s}$. En appliquant cette inégalité à $T_{i}$ et $T_{i}^{-1}$ pour tout $i$, il vient $r=s$. Ainsi $\eta_{r}\leq x\leq\eta_{r}$ et $x=\eta_{r}$. Par conséquent, $\eta_{r}$ est maximal.

On en déduit que si $\sigma$ est un automorphisme d’espace analytique de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ alors $\sigma(S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}))=S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})$. Notons qu’il n’y a pas besoin de supposer que $\sigma$ agit non trivialement sur le corps $k$, il peut par exemple provenir d’une action galoisienne.