La proposition se démontre par récurrence sur $n$. Soit $s$ une section méromorphe régulière de $L_{n}$. Alors, $\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ est un courant sur $X$ et l’on a la formule de Poincaré–Lelong

$$\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}[\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}]+\delta_{\operatorname{div}(s)}=c_{1}(\bar{L}_{n}).$$

Notons $\alpha$ la forme lisse $c_{1}(\bar{L}_{1})\dots c_{1}(\bar{L}_{n-1})$, et appliquons-lui cette égalité de courants. Il vient

$$\langle[\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}],\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\rangle+\int_{\operatorname{div}(s)}\alpha=\int_{X}c_{1}(\bar{L}_{1})\dots c_{1}(\bar{L}_{n}).$$

Par récurrence,

$$\int_{\operatorname{div}(s)}\alpha=(c_{1}(L_{1})\dots c_{1}(L_{n-1})\cap[\operatorname{div}(s)])=(c_{1}(L_{1})\dots c_{1}(L_{n})\cap[X]),$$

par définition même de l’intersection d’une première classe de Chern avec un cycle jointe au fait que le degré d’un zéro-cycle rationnellement équivalent à zéro est nul. D’autre part, la forme $\alpha$ s’écrit localement

$$\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}(u_{1})\dots\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}(u_{n-1}),$$

où $u_{1},\dots,u_{n-1})$ sont des sections inversibles de $L_{1},\dots,L_{n-1})$. Il en résulte que $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha=0$. Cela conclut la preuve de la proposition. ∎