4.5.1 [01S9]

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4.5.1

Soit $\mathscr{A}$ une algèbre $k$ -affinoïde, soit $\mathscr{I}$ son nilradical, soit $X$ l’espace $\mathscr{M}(\mathscr{A})$ et soit $\mathscr{X}$ le schéma $\operatorname{Spec}\mathscr{A}$ . Soit $x\in X$ , et soit $\mathbf{x}$ son image sur $\mathscr{X}$ . L’anneau $\mathscr{A}$ étant réduit, l’espace analytique $X$ est réduit (Berkovich, cf. [29], th. 3.4). Les anneaux locaux artiniens $\mathscr{O}_{\mathscr{X},\mathbf{x}}/\mathscr{I}$ et $\mathscr{O}_{\mathscr{X},\mathbf{x}}/\mathscr{I}$ sont donc tous deux des corps.

Pour tout $\mathscr{A}$ -module de type fini $\mathscr{F}$ , on pose

\mathscr{F}_{\mathbf{x}}=\mathscr{F}\otimes_{\mathscr{A}}\mathscr{O}_{\mathscr{X},\mathbf{x}}\quad\text{et}\quad\mathscr{F}_{x}=\mathscr{F}\otimes_{\mathscr{A}}\mathscr{O}_{X,x}

\lemmname 4.5.2.

Pour tout $\mathscr{A}$ -module de type fini $\mathscr{F}$ , on a $\operatorname{long}(\mathscr{F}_{x})=\operatorname{long}(\mathscr{F}_{\mathbf{x}})$ .

Nous dirons que c’est la longueur de $\mathscr{F}$ (ou du faisceau cohérent associé) en $x$ ou en $\mathbf{x}$ .

Lorsque $\mathscr{F}=\mathscr{A}$ , cet entier est ce qu’on appelle la multiplicité de la composante irréductible $\overline{\{{\mathbf{x}}\}}$ de $\mathscr{X}$ ; nous dirons également que c’est la multiplicité de $X$ en $x$ .

Démonstration.

Dans le diagramme commutatif

\vbox{\lx@xy@svg{\hbox{\raise 0.0pt\hbox{\kern 24.0129pt\hbox{\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\hbox{\vtop{\halign{\entry@#!@&&\entry@@#!@\cr&\cr&\crcr}}}\ignorespaces{\hbox{\kern-24.0129pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{\operatorname{Spec}\mathscr{O}_{X,x}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 14.60742pt\raise-8.3611pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{\kern 48.0129pt\raise-27.47711pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces{\hbox{\lx@xy@drawline@}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-8.3611pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 0.0pt\raise-24.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 51.7629pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{}$}}}}}}}{\hbox{\kern-23.75075pt\raise-31.33331pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{\operatorname{Spec}\mathscr{O}_{\mathscr{X},\mathbf{x}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces\ignorespaces{\hbox{\kern 23.75075pt\raise-31.33331pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}\ignorespaces{\hbox{\kern 48.0129pt\raise-31.33331pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{$\textstyle{\hbox{\lx@xy@tip{1}\lx@xy@tip{-1}}}$}}}}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\lx@xy@droprule}}{\hbox{\kern 48.0129pt\raise-31.33331pt\hbox{\hbox{\kern 0.0pt\raise 0.0pt\hbox{\hbox{\kern 3.0pt\raise-2.5pt\hbox{$\textstyle{\mathscr{A}}$}}}}}}}\ignorespaces\ignorespaces}}}}},

toutes les flèches sont plates. Il s’ensuit que l’on a pour tout entier $n$ et tout $\mathscr{A}$ -module de type fini des isomorphismes naturels

((\mathscr{I}^{n}\mathscr{F})/(\mathscr{I}^{n+1}\mathscr{F}))_{\mathbf{x}}\simeq(\mathscr{I}^{n}\mathscr{F}_{\mathbf{x}})/(\mathscr{I}^{n+1}\mathscr{F}_{\mathbf{x}})

((\mathscr{I}^{n}\mathscr{F})/(\mathscr{I}^{n+1}\mathscr{F}))_{x}\simeq(\mathscr{I}^{n}\mathscr{F}_{x})/(\mathscr{I}^{n+1}\mathscr{F}_{x}).

Par conséquent,

\dim_{\mathscr{O}_{X,x}/\mathscr{I}}(\mathscr{I}^{n}\mathscr{F}_{x})/(\mathscr{I}^{n+1}\mathscr{F}_{x})=\dim_{\mathscr{O}_{\mathscr{X},\mathbf{x}}/\mathscr{I}}(\mathscr{I}^{n}\mathscr{F}_{\mathbf{x}})/(\mathscr{I}^{n+1}\mathscr{F}_{\mathbf{x}}).

Le lemme en résulte par dévissage. ∎