Soit $X$ un espace $k$-analytique irréductible, soit $\mathscr{F}$ un faisceau cohérent sur $X$, et soit $\mathscr{I}$ le faisceau des éléments localement nilpotents sur $X$. Fixons un domaine affinoïde non vide $V$ de $X$. La suite de faisceaux cohérents

$$\mathscr{F}\supset\mathscr{I}\mathscr{F}\supset\mathscr{I}^{2}\mathscr{F}\ldots\supset\mathscr{I}^{m}\mathscr{F}\supset\mathscr{I}^{m+1}\mathscr{F}\supset\ldots$$

s’annule à un rang fini lorsqu’on la restreint à $V$  ; elle s’annule donc génériquement à un rang fini, c’est-à-dire qu’il existe $n$ tel que $\mathscr{I}^{n}\mathscr{F}$ soit nul au-dessus d’un ouvert de Zariski non vide de $X$.

Soit $n$ un entier. Le faisceau $\mathscr{F}_{m}:=\mathscr{I}^{m}\mathscr{F}/\mathscr{I}^{m+1}\mathscr{F}$ est un faisceau cohérent de $\mathscr{O}_{X}/\mathscr{I}$-modules, c’est-à-dire un faisceau cohérent sur $X_{\text{red}}$. Sa restriction à $V_{\text{red}}$ est génériquement libre sur chacune des composantes irréductibles de $V_{\text{red}}$. Par conséquent, l’ouvert de Zariski $U$ de $X_{\text{red}}$ au-dessus duquel $\mathscr{F}_{m}$ est libre est non vide. Comme $U$ est connexe ([7], Corollaire 3.3.20), le rang de $\mathscr{F}_{m}$ est constant sur cet ouvert ; on le note $r_{m}(\mathscr{F})$.

Pour $m$ assez grand, on a $r_{m}(\mathscr{F})=0$. On note $\ell(\mathscr{F})=\sum_{m\geq 0}r_{m}(\mathscr{F})$ et on dit que c’est la longueur générique du faisceau cohérent $\mathscr{F}$. Lorsque $\mathscr{F}=\mathscr{O}_{X}$, on dit que $\ell(\mathscr{O}_{X})$ est la multiplicité générique de $X$.

Soit $v$ un point de $V$ tel que $\mathscr{O}_{V,v}$ soit artinien. La longueur générique de $\mathscr{F}$ est alors égale par construction à la longueur de $\mathscr{F}|_{V}$ en $v$, et la multiplicité générique de $X$ est égale à la multiplicité de $V$ en $v$.