Supposons que $n$ soit égal à la dimension de $V$. Nous appellerons vecteur-volume sur $V$ un élément du produit contracté $\mathopen{|}{\Lambda^{n}\overrightarrow{V}}\mathclose{|}=\operatorname{Or}(\overrightarrow{V})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$. Concrètement, on obtient bien sûr un tel vecteur-volume à partir d’une base $(e_{1},\ldots,e_{n})$ de $\overrightarrow{V}$, décrétée directe, et d’un $n$-vecteur $a\overrightarrow{e}_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}$ de $\overrightarrow{V}$. Soit $U$ un ouvert de $V$.

D’après les paragraphes précédents, une fois choisi un vecteur-volume $\mu$ sur $V$, on peut définir : l’intégrale $\int_{U}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle$ pour toute forme mesurable $\omega$ de type $(n,n)$ sur $U$ de $V$  ; la notion de $\mu$-intégrabilité d’une telle forme  ; et, pour une $(n,n)$-forme $\omega$ sur $U$ qui est mesurable et $\mu$-intégrable, l’intégrale $\int_{U}\langle\omega,\mu\rangle$.

Si $\omega=\omega^{\sharp}(x_{1},\ldots,x_{n})\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\ldots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n}$ en coordonnées dans un repère $(O,e_{1},\ldots,e_{n})$ alors $\omega$ est $\mu$-intégrable si et seulement si la fonction $a\omega^{\sharp}$ sur $U$ est intégrable. Cela ne dépend d’ailleurs pas de $a$, sauf si $a=0$ auquel cas toute forme mesurable est $\mu$-intégrable.

On a

$$\int_{U}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle=\mathopen{|}{a}\mathclose{|}\int_{U}\mathopen{|}{\omega^{\sharp}}\mathclose{|}(x_{1},\dots,x_{n})\,\mathrm{d}x_{1}\dots\mathrm{d}x_{n},$$

et

$$\int_{U}\langle\omega,\mu\rangle=a\int_{U}\omega^{\sharp}(x_{1},\dots,x_{n})\,\mathrm{d}x_{1}\dots\mathrm{d}x_{n}$$

lorsque $\omega$ est $\mu$-intégrable. Lorsque $a=1$, on retrouve la formule de Lagerberg.