Soit $\omega$ une forme lisse à support propre sur $X$, choisissons des formes lisses, fortement positives $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ sur $X$ telles que $\omega=\omega_{1}-\omega_{2}$ (lemme 5.3.3). Soit aussi $U$ un voisinage relativement compact de $\operatorname{supp}(\omega)$ et $\lambda$ une fonction lisse sur $X$, à support dans $U$, qui vaut $1$ au voisinage de $\operatorname{supp}(\omega)$ et à valeurs positives ou nulles. On a donc $\omega=\lambda\omega=\lambda\omega_{1}-\lambda\omega_{2}$ ; cela permet de supposer que $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ sont à support dans $U$.

Les applications $u\mapsto\langle T,u\omega_{1}\rangle$ et $u\mapsto\langle T,u\omega_{2}\rangle$ sont des courants positifs de degré $0$ à support dans $U$, donc définissent des mesures positives sur $X$, dont le support est contenu dans $U$ (proposition 5.4.6). Leur différence est une mesure sur $X$ à support contenu dans $U$. Comme le support de $\omega$ est propre et contenu dans $U$, cette mesure s’étend par continuité en une application linéaire continue sur l’espace des fonctions continues sur $X$ muni de la topologie de la semi-norme de la convergence uniforme sur $U$. Cela définit $\langle uT,\omega\rangle$ pour toute fonction continue $u$ sur $X$ et toute forme à support propre $\omega$ sur $X$. Si $u$ et $\omega$ sont positives, on a bien $\langle uT,\omega\rangle\geq 0$, comme affirmé dans l’énoncé.

Lorsque $u$ est positive, l’application $\omega\mapsto\langle uT,\omega\rangle$ est linéaire et est positive en toute forme faiblement positive. D’après le lemme 5.4.4, c’est alors un courant positif. Le cas d’une fonction continue $u$ arbitraire en résulte. ∎