Par $n$-linéarité et symétrie, on se ramène au cas où les $\bar{L}_{j}$ sont tous égaux à un même fibré métrisé $\bar{L}$. On sait que le support de la mesure considérée est contenue dans $\operatorname{Int}(X)$. Soit $x\in\operatorname{Int}(X)$ et soit $(V,M)$ un prémodèle de $\mathsf{L}(x)$ où $V$ est de dimension minimale. On peut supposer $V$ projective, et écrire $M\simeq M_{1}\otimes M_{2}^{\vee}$, où $M_{1}$ et $M_{2}$ sont engendrés par leurs sections globales — on peut même les choisir très amples.

Relevons $M_{1}$ et $M_{2}$ en deux fibrés métrisés PL sur $(X,x)$ que l’on note $\bar{L}_{1}$ et $\bar{L}_{2}$. On dispose donc d’un isomorphisme $\bar{L}\simeq\bar{L}_{1}\otimes\bar{L}_{2}^{\vee}$ au voisinage de $x$. Soit $s$ (resp. $s_{2}$) une section de $L$ (resp. $L_{2}$). Leur produit tensoriel $s\otimes s_{2}$ s’identifie à une section $s_{1}$ de $L_{1}$. Comme $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}=\mathopen{\|}{s_{1}}\mathclose{\|}.\mathopen{\|}{s_{2}}\mathclose{\|}^{-1}$, et comme la dimension de définition de $\bar{\mathsf{L}_{i}}(x)$, pour $i=1,2$, est majorée par la dimension de $V$, on peut, pour démontrer la proposition, supposer que $M$ est engendré par ses sections globales.

Au voisinage de $x$, la fonction $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}^{-1}$ est alors de la forme $\max_{i}(\mathopen{|}{a_{i}}\mathclose{|}^{-1})$, où les $a_{i}$ appartiennent à $\mathscr{O}_{X,x}^{\times}$, et où $\widetilde{a_{i}(x)/a_{j}(x)}\in\tilde{k}(V)$ pour tout couple $(i,j)$. Si $x\notin S$, la dimension de $V$ est strictement inférieure à $n$ et la dimension tropicale en $x$ de la famille $(a_{i})$ est strictement inférieure à $n$. D’après la proposition 6.8.3, la mesure $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est nulle au voisinage de $x$. En particulier, le support de $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est contenu dans $S$ et $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est une mesure de support fini, d’où la proposition. ∎