4.1 Topologie sur l’espace des formes [01RD]

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4.1 Topologie sur l’espace des formes

4.1.1

Munisons l’espace des $(p,q)$ -formes lisses à support compact sur $X$ de la topologie suivante : une suite (net, filtre) $(\omega_{n})$ converge vers $\omega$ s’il existe une famille finie $(W_{i})$ de domaines analytiques compacts recouvrant la réunion des supports des $\omega_{n}$ et de $\omega$ et, pour tout $i$ , une tropicalisation $\tau_{i}\colon W_{i}\rightarrow T_{i}$ , des formes lisses $\varphi_{n,i}$ et $\varphi_{i}$ sur $T_{i,{\text{trop}}}$ telles que $\omega_{n}\mathrel{|}{W_{i}}=\tau_{i}^{*}\varphi_{n,i}$ , $\omega\mathrel{|}{U_{i}}=\tau_{i}^{*}\varphi_{i}$ , la suite $(\varphi_{n,i})$ convergeant uniformément vers $\varphi$ , ainsi que chacune de ses dérivées, sur le polytope $\tau_{i}(W_{i})$ .

\lemmname 4.1.2.

a)

Soit $(\omega_{n})$ et $(\eta_{n})$ des suites de formes lisses à support compact sur $X$ qui convergent respectivement vers des formes $\omega$ et $\eta$ . Alors $\omega_{n}\wedge\eta_{n}$ converge vers $\omega\wedge\eta$ .
b)

Soit $U$ un ouvert de $X$ et soit $\eta$ une forme lisse à support compact dans $U$ . Soit $(\omega_{n})$ une suite de formes lisses à support compact sur $X$ qui converge vers une forme $\omega$ . Alors, $\omega_{n}\wedge\eta$ converge vers $\omega\wedge\eta$ .
c)

Soit $\eta$ une forme lisse sur $X$ . Soit $(\omega_{n})$ une suite de formes lisses à support compact sur $X$ qui converge vers une forme $\omega$ . Alors, $\omega_{n}\wedge\eta$ converge vers $\omega\wedge\eta$ .

Démonstration.

Ces assertions sont classiques sur un ouvert de $\mathbf{R}^{n}$ et s’étendent immédiatement au cas des formes sur un polytope. Il reste à expliquer comment on se ramène à cette situation.

a) Considérons une famille finie $(W_{i},\tau_{i})$ de cartes tropicales qui recouvrent le support de ces formes et témoignent de la convergence de $\omega_{n}$ vers $\omega$ et de la convergence de $\eta_{n}$ vers $\eta$ . On voit dans ces cartes que $\omega_{n}\wedge\eta_{n}$ converge vers $\omega\wedge\eta$ .

b) Pour tout $i$ , choisissons un raffinement fini $(W_{i,j},\tau_{i,j})$ de la carte tropicale $(W_{i},\tau_{i})$ par des cartes qui décrivent $\eta$ , où les $W_{i,j}$ sont des affinoïdes contenus dans $U$ dont la réunion recouvre l’intersection avec $W_{i}$ du support de $\eta$ . Alors, la famille finie de cartes tropicales témoigne de la convergence de $\omega_{n}\wedge\eta$ vers $\omega\wedge\eta$ .

c) Pour tout $i$ , choisissons de même un raffinement fini $(W_{i,j},\tau_{i,j})$ de la carte tropicale $(W_{i},\tau_{i})$ par des affinoïdes de $W_{i}$ qui tropicalisent $\eta$ . Là encore, ces cartes $(W_{i,j})$ témoignent de la convergence de $\omega_{n}\wedge\eta$ vers $\omega\wedge\eta$ . ∎